集合及其结构：探索无限可能

我们开始来逐步理解相关内容。“不确定性”意味着我们的实验结果存在多种可能：ω1,ω2,···,ωn。所有这些可能的实验结果构成一个集合Ω：

我们面临的第一个问题是：如何描述这个集合Ω？我们需要从两个方面来描述集合Ω，即：

1.集合Ω中所包含的元素：ω1,ω2,···,ωn。

图14.1　通过视觉感知，每一帧图像都生成了：一个关于图中各个物体的描述，整个视频就被转化为：由“描述”所组成的时间序列，例如：一组曲线。

2.集合Ω的结构：集合Ω中所包含的子集的形式。

集合Ω中所包含的元素是已知（固定不变）的，但是集合的结构却是由实际问题决定的。我们以一个例子来说明这个问题，扔一次骰子，总共有六种可能的结果：ω1=1点，ω2=2点，ω3=3点，ω4=4点，ω5=5点，ω6=6点。如果我们关注骰子的点数，那么，集合Ω中所包含的子集（包括空集ϕ和全集Ω）总共有26=64个^[1]，例如：{ω1}（结果为1点的情况），{ω2,ω3}（结果为2点或3点的情况），{ω1,ω3,ω5}（结果为1点或3点或5点的情况）等等。如果我们将实验结果分为两类：{小}={ω1,ω2,ω3}和{大}={ω4,ω5,ω6}，那么，相应的子集（包括空集ϕ和全集Ω）总共有22=4个，分别是：ϕ,{ω1,ω2,ω3},{ω4,ω5,ω6}和Ω。

14.2.1　集合的σ-代数

我们需要找到一种有效的方式，来描述上述两种情况（赌“点数”和赌“大小”）下集合Ω的结构。一种方式是将集合Ω（在具体问题中所对应）的子集全部列写出来，但是，这种方式过于“笨拙”。另一种更加简洁和有效的方式是：

第一步：列写出集合Ω（在具体问题中所对应）的子集中的一部分，作为的“生成单元”：A1,A2,···,Am。

第二步：对“生成单元”进行交、并、补集合运算，得到所有可能的运算结果（记为：σ(A1,A2,···,Am)），所有运算结果（都是集合Ω的子集）构成一个“集族”F=σ(A1,A2,···,Am)。

集族F被称为：集合Ω的σ-代数，它描述了集合Ω的结构信息。我们称σ-代数F中的元素（也是Ω的子集）为事件，事件并不是某种可能出现的结果，而是一种情况，具体表现为（一种或多种）结果所组成的集合，例如，抛骰子点数小于3的情况为{ω1,ω2}。

所有可能的实验结果Ω与所有可能的事件F合在一起，才能完整地描述不确定性实验的具体情形。也就是说，(Ω,F)作为一个整体，给出对集合Ω的完整描述。

注意，“交”运算可以通过“并”运算和“补”运算来实现：

因此，我们可以从交、并、补三种集合运算中选取两种（必须包含补运算），来定义集合运算。许多概率论书籍采用这种方式（例如：并运算和补运算）来定义σ代数。

需要指出的是：集合运算σ(A1,A2,···,Am)并不是一次运算，而是不断反复运算，直到没有新的结果产生为止^[2]。因此，

•集合Ω的σ-代数F具有封闭性，也就是说，F中的元素（Ω的子集）经过任意“交、并、补”运算后，仍然属于F。

否则，如果有新的子集产生，说明σ(A1,A2,···,Am)运算没有结束，只需继续运行σ(A1,A2,···,Am)，直至运算结束。此外，

•空集ϕ和全集Ω都属于F。(www.xing528.com)

因为，进而推出，以及=Ω∈F。对于抛骰子的例子，在“赌点数”的情况下，我们可以选取：Ak={ωk}（其中k=1,2,···,5），于是，

在“赌大小”的情况下，我们可以选取：A1={ω1,ω2,ω3}和A2={ω4,ω5,ω6}，于是，

需要指出的是，“生成单元”A1,A2,···,Am的选取并不唯一。对于式(14.4)，我们也可以令F=σ({ω1,ω2,ω3})。

14.2.2　对集合的分割

我们所感兴趣的是一组特殊的“生成单元”B0,B1,B2,···,Bk，满足如下三个条件：

1)B0=ϕ，当0≤i≤k时，都有Bi/=ϕ；

2)B1∪B2∪···∪Bk=Ω；

3)对于任意i/=j，都有Bi∩Bj=ϕ。

满足上述条件的{B0,B1,B2,···,Bk}称为：对集合Ω的分割（或划分）。于是，我们得到了一种生成F的方法：

第一步：根据给定的“生成单元”A1,A2,···,Am，通过交、并、补三种集合运算，构造出对集合Ω的分割{B0,B1,B2,···,Bk}；

第二步：在B0,B1,B2,···,Bk中选取若干个（包括1个和k个）进行并运算，（总共可以）生成2k个集合^[3]。所生成的2k个集合就构成了（集族）F中的所有元素。

需要指出的是，对于某一给定的σ-代数F，虽然“生成单元”A1,A2,···,Am的形式不唯一，但是，（对集合Ω的）分割形式B0,B1,B2,···,Bk是唯一的！也就是说，（对集合Ω的）分割{B0,B1,B2,···,Bk}与（集合Ω的σ-代数）F之间是一一对应的。并且，只需要通过一种运算^[4]：B0,B1,B2,···,Bk之间（包括和自身）的集合并运算，即可生成F。换句话说，

•分割{B0,B1,B2,···,Bk}是集族F的一组完备的、不冗余的、只基于一种运算（集合并）的、形式唯一的“基本生成单元”。

因此不难理解：我们常常通过分析和处理（集合Ω的）分割{B0,B1,B2,···,Bk}，来对（集合Ω的σ-代数）F进行研究。

通过上述分析，我们得到了集合Ω的完整描述(Ω,F)，要深入分析集合Ω，我们还需要做进一步处理。具体地说，Ω和F都是抽象的集合，我们首先要想办法给Ω和F这两个集合赋予数的结构，才能应用数学工具对其进行分析。一个直接和自然的方法是：将Ω和F分别映射到具有数结构的空间（例如我们熟悉的实数轴）中，然后在被映射到的（具有实数结构的）空间中进行分析。这两个映射（或函数）：随机变量和概率，无疑是概率论中最基础和最重要的概念，使得后续的数学分析成为可能。

在这里，我们并不直接一下子给出随机变量和概率的正确完整定义，而是采用逐步修正的探索过程，从而深刻理解这两个基本概念背后的核心思想。正如我们上面所分析的，这两个概念最初步的定义是从集合到实数轴的映射，即：

•随机变量（初步）：从集合Ω到实数轴R上的函数映射X:Ω→R，记为X(ω)，其中ω∈Ω，X(ω)∈R。

•概率（初步）：从集族F到实数轴R中[0,1]区间上的函数映射P:F→[0,1]，记为P(A)，其中A∈F，0≤P(A)≤1。

后面，我们还将进一步完善上面两个定义。