图12.2的相机运动参数所产生的相同光流

在这一节中，我们将考虑相机只做平动的情况。我们用t=(U,V,W)T来表示相机的运动速度。于是，我们可以得到方程：

此时，在生成的光流场中，所有向量的反向延长线都会经过同一个点。这个点被称为：膨胀中心（focus of expansion(FOE)），它的光流速度等于零。从透镜出发、沿着相机的运动方向的射线，会“穿过”物体表面上的一个点，这个点所成的像（在像平面上）的位置(x0,y0)T就是膨胀中心。根据式(12.18)，膨胀中心的坐标为：

膨胀中心是：碰撞点的像（在图像中）的位置，可以被用于导航。通过检测膨胀中心附近的图像区域中的目标属性，我们可以预测是否会发生碰撞，并且，进一步分析如何去避免发生碰撞（例如让膨胀中心始终位于图像中的指定区域）。这也正是无源导航这个词的由来。

当U=V=0时，膨胀中心(x0,y0)T=(0,0)T位于图像正中央。对于第4章4.7小节中的例子，以及习题12.14中的场景，我们的导航控制策略是：首先，通过调整飞行姿态，使得目标位于图像中心；然后，直接向前运动，冲过（或撞击）目标。

12.2.1　相似曲面与相似运动

我们想要说明：如果两种（相机的）平动所产生的光流是相同的，那么，两个曲面是相似曲面，并且，这两种运动也是相似运动。我们用Z1和Z2来表示两个曲面，并且，用t1=(U1,V1,W 1)T和t2=(U2,V2,W 2)T来表示相机的两种不同运动。两组参数：{Z1,t1}和{Z2,t2}产生出相同的光流，也就是说，

图12.2　相机运动的6个参数所对应的光流（假设Z(x,y)为常数）。

从这些方程中消去Z1、Z2、u和v后，我们可以得到：

我们可以将其写为：

或者进一步写为：

注意，我们假设：{Z1,t1}和{Z2,t2}产生完全相同的光流。因此，对于所有的x和y，上式都必须成立。于是，我们可以进一步推导出：下面的三个式子也必须成立，也就是说，

我们可以将这三个等式写为如下的比例形式，即：

通过上式，我们可以得出：Z2是Z1通过膨胀扩大而形成的。显然，无论已知多少个点的光流，我们都无法通过光流求得Z1和Z2之间的比例因子（这个比例因子同样也是t1和t2之间的比例因子）。

我们说相机的运动被“唯一”确定是指：相机运动在“相差一个比例因子的意义上”被唯一地确定。注意：相机的平动是一个向量t=(U,V,W)T，因此，我们只能确定向量t的方向，而不能确定其大小。这也是我们在下一小节中加入约束条件=1的原因。

12.2.2　最小二乘方法

图12.3　当景深为常数时，对于平动，所得到的光流应该是图12.2(a)、图12.2(b)和图12.2(c)的线性组合。相应的无源导航问题就是：确定线性组合系数(˜U,˜V,˜W)T。

在设计求解算法之前，让我们先通过一个具体例子来深入理解这个问题。图12.3中给出的是一个极其特殊的情况：场景是一个竖直的平面，也就是说，景深Z(x,y)=Z0是一个常数。对于平动，所得到的光流应该是图12.2中的前三个图像，即：图12.2(a)、图12.2(b)、图12.2(c)，的线性组合（或线性叠加）。相应的无源导航问题就是：要确定相应的线性组合系数，也就是说，如何通过图12.2(a)、图12.2(b)和图12.2(c)来“合成”图12.3中的光流？此时，无源导航问题可以被简化为：求解一组线性组合系数，使得成立。线性组合系数( U, V, W)T=(0.3,0.4,0.8)T时，对应的光流如图12.3(a)所示；当线性组合系数( U, V, W)T=(0.2,0.3,1)T时，对应的光流如图12.3(b)所示。光流估计过程中可能含有大量的噪声。图12.3(c)和图12.3(d)中分别给出了（与图12.3(a)和图12.3(b)对应的）带有噪声的光流估计结果，其中，噪声被选取为0.2到0.2之间的随机数。在习题12.13中，我们将继续针对这个问题开展深入分析。

需要指出的是：即使是只包含平动的无源导航问题，也要比图12.3中给出特殊的情况复杂得多。除了确定运动参数( U, V, W)T外，我们还需要确定曲面形状（也称为景深）Z(x,y)。也就是说，我们可以对图12.3中的每一个“箭头”任意地做尺度伸缩。

通常情况下，如果相机的运动只包含平动，那么，图像上两个点的光流方向，就可以唯一地确定相机的平动。但是，只使用如此少的信息有很大的缺点。我们测量的光流中包含很大的噪声，我们希望得到一种具有鲁棒性的方法。因此，我们考虑：使用最小二乘方法（也就是说：针对某种范数形式的最佳拟合），来确定：运动参数以及物体的表面形状。

在下面的内容中，我们假设像平面是一个矩形，即：x∈[w,w]并且y∈[h,h]。如果像平面为其他形状，（我们将要导出的）这种方法也同样适用。事实上，如果场景中包含：多个以不同速度运动的物体，那么，我们可以将该方法用于：场景中某一物体所对应的图像区域。通常情况下，物体和相机之间的距离有一个下界，因此，我们可以假设1/Z是一个有界函数。此外，绝大多数的场景是由具有光滑表面的物体所组成的，因此，我们可以假设：场景深度（景深）是“几乎处处”连续的。特别的，我们可以假设：场景中，1/Z不连续的点的集合是一个零测集^[1]。这个假设保证了：进行积分所需要的所有必要条件。我们想要最小化下式：

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对于这种情况，我们所得到是：在L2范数意义下的最佳拟合结果。函数f(x,y)的L2范数的定义为：

最小二乘方法中，求解式(12.29)的步骤如下：首先，我们确定每一个点(x,y)处的Z值，从而使得：在将U、V和W看作已知常数的情况下，式(12.29)中的积分取得最小值；然后，我们确定U、V和W的值，以使得式(12.29)中的积分取得最小值。注意，在式(12.29)中，Z是一个函数Z(x,y)；而U、V和W是参数，因此，在优化过程中，我们将“对Z(x,y)的优化”和“对U、V和W的优化”分为两步进行处理。在对Z(x,y)的优化过程中，U、V和W被看作已知常数，这是一个变分问题。经过这一步后，原来优化问题被简化为：一般的参数优化问题。为了方便，我们定义：

注意：给定U、V和W以后，理论上，我们应该得到的光流为：

于是，我们可以将积分式(12.29)简写为：

现在，我们进行：上面提到的求解优化问题的两个步骤中的第一步。首先，令式(12.29)中的被积函数对Z求导，再令所得到的表达式等于零，我们可以得到：

因此，我们可以得到Z的值：

顺便说一下，由于Z＞0，因此，上式给出了一个关于U、V和W的约束条件。在后面，我们会利用这个约束条件，在所得到的两个符号相反的解中，选取一个合理的解。注意：我们现在有：

因此，我们可以将式(12.29)中的积分进一步写为：

首先，我们可以明显看出来的是：将U、V和W同时乘以一个相同的因子，并不改变上式中的积分结果。这反映出一个事实：我们所确定的运动参数，是在相差一个尺度因子的意义下而言的。

图12.4　关于式(12.37)的一个几何解释。

在进行下一步的处理之前，我们先给出一个：关于我们到目前为止所做的操作的几何解释（如图12.4所示）。对于任意给定的图像点(x0,y0)，其光流不但取决于：该图像点所对应的物体上的点的速度U、V和W；同时还取决于：物体上的点在Z方向上的投影值Z0。但是，光流速度(u,v)的方向并不依赖于Z0。点(u,v)一定位于：uv平面上由方程βuαv=0所确定的一条直线L上。假设：图像点(x0,y0)处光流的测量结果为(um,vm)，并且，在直线L上，和(um,vm)距离最近的点为(ua,va)（该点对应于某一个Za）。于是，残留的误差为：点(um,vm)到直线L的距离。这个距离的平方就是：积分式(12.37)中的被积函数（即：积分号里面的部分）。

在优化求解的第二步中，积分式(12.37)分别对U、V和W求导，再令求导结果等于零，于是，我们得到：

如果我令：

那么，我们可以将公式(12.38)～(12.38)简写为：

我们发现：式(12.42)乘以U、加上式(12.43)乘以V、再加上式(12.44)乘以W，所得到的结果恒等于零。因此这三个方程（即：式(12.42)～(12.44)）是线性相关的。这是我们的预料结果。如果

（其中f是一个可导函数），那么，上式两边对k求导，可以得到：

这个结果同时也和如下事实是一致的，即：确定相机的运动速度这个问题，是在相差一个常数因子的意义下而言的！因此，我们只需要两个方程，但是，方程关于U、V和W是非线性的，并且，我们也无法证明：方程的解（在相差一个常数因子意义下）是唯一的。