旋转不变性和边缘增强的问题探讨

习题10.1请证明：下面3个二阶偏导数算子

不满足旋转不变性。

进一步，我们想通过上面三个线性算子的线性组合：

来构造出一个满足旋转不变性的二阶线性偏微分算子，也就是说，与θ无关，请确定上式中参数a、b和c的值。最终，我们证明了：Lap lace算子是满足旋转不变性的唯一的二阶线性偏微分算子。

习题10.2连续图像上的噪声并不是一个非常简单的概念。但是，它对于分析：用于进行边缘提取的算子的连续形式，却是非常有用的。假设我们所处理的噪声的波形为n(x,y)，其均值为0，也就是说，对于整个图像区域R，我们有：

同时，我们假设：噪声的波形在图像中不同点的值，可以被看作是：独立的随机变量；并且，在不同的图像区域中，噪声具有相同的“功率”。假设：在给定的区域R中，噪声波形的自相关函数为：

其中，A为区域R的面积。注意，自相关函数和区域面积之间存在线性依赖关系。这个结果是合理的，因为，我们希望：在半个图像区域中所计算出的结果，独立于在另外半个图像区域中所计算出的结果。因此，当我们将这两个随机变量加在一起时，和的方差等于各个随机变量的方差的和。

式(10.81)中的N 2确定了：噪声在单位面积上的“功率”大小。注意，单位面积上的真实功率是无穷大的，这是因为我们所处理的“信号”，其频谱是“平的”，也就是说，噪声的带宽是无穷大。只有限制频带宽度，我们才能使得：噪声在单位面积上的“功率”是有限的。我们可以让噪声通过一个低通滤波器，来实现这个目的。

(a)我们感兴趣的是：噪声通过一个点扩散函数为h(x,y)的滤波器后，在单位面积上的功率。滤波后的噪声的平方的积分为：

其中，o(x,y)=n(x,y)⊗h(x,y)。证明：滤波器输出结果的平方的积分（即：式(10.82)）为

注意：噪声的滤波结果不再是不相关的了，但是，这并不影响：我们计算噪声波形的平方的积分。

(b)我们让一张图像通过一个Gauss平滑滤波器，该滤波器的点扩散函数为：

请问：输出结果中，单位面积上的噪声的功率是多少？随着σ的变化，这个结果将发生什么变化？请考虑：当σ→0时的极限情况。

习题10.3在这个问题中，我们将比较：三种边缘增强算子的“表现”。对于每一种情况，我们都先使用Gauss函数（即：式(10.84)）和图像做卷积，从而减小噪声的影响；然后，使用微分算子来“突出”高频分量。这三种算子分别为：1)一阶方向导数，2)二阶方向导数，3)Laplace算子（它是一个旋转对称算子）。我们将探索：每一个算子对于阶梯函数（即：信号）和随机噪声的响应。我们使用：信号波峰值与噪声的均方根的比值（即：PSNR），来衡量每一种算子的“表现”。令：

于是，旋转对称的Gauss函数G可以表示为Gx和Gy的乘积，即：G=Gx Gy。或者，我们也可以令：

此时，G可以表示为和的卷积，即：G=⊗。同时，我们还需要注意的是：对Gauss函数与图像的卷积结果进行求导运算，等价于：Gauss函数的导数与图像的卷积。这是由于求导是一个：线性移不变算子，因此，这两个算子（即：求导和卷积）是可交换的。

我们可以使用：相应的点扩散函数，来表示三种算子，即：

我们的测试函数选为：单位阶梯函数，它的边缘经过原点，即：

我们也可以将单位阶梯函数E(x,y)看作：

其中δ是单位无限冲击函数。

(a)对于单位阶梯函数，请判断：式(10.87)中的每一种算子的响应。提示：在第6章中，我们曾经介绍过：求导和积分可以看作：某一恰当的广义函数的卷积。注意：这些算子是可交换的！注意到这一点，可以大大简化我们的工作，例如，你可能不会想要去：求出式(10.87)中的三种算子所对应的点扩散函数的显式格式。

(b)使用式(10.87)中的每一种算子，所得到的边缘增强图像中，最大值和最小值所对应的点各是什么？在这三张边缘增强图像中，有两张应该具有相同的极值点。

和上一题一样，我们使用如下积分：

来表征图像的噪声，那么，在边缘增强结果中，单位面积上噪声的功

率为：

其中O(x,y)是：算子的点扩散函数。

(c)对于式(10.87)中的每一种算子，请计算：1)它们各自所对应的噪声的方差，以及，2)信号峰值和噪声的均方差的比值。在这里，均方差正好是方差的平方根。如果算子的“尺度”σ是固定的，那么，三种算子中，哪一种表现最好？哪一种最差？

(d)信噪比依赖于：算子的“尺度”σ。要使得式(10.87)中的第一种算子的信噪比等于第三种算子的信噪比，那么，第一种算子的“尺度”σ，应该是第三种算子的多少倍？

习题10.4对于一张理想的、直的单位阶梯边缘的图像，使用Lap lace-Gauss级联滤波器对其作用以后，所得到的“跳变零”点，正好位于边缘上。这里，我们将探索：当边缘是一条曲线时，将发生什么情况？考虑一个理想的圆盘图像，即：

在该图像与Lap lace-Gauss级联滤波器的卷积结果中，如果存在“跳变零”点，那么，这些“跳变零”点一定形成一个圆，这是因为：图像和算子都是旋转对称的。请判断：由“跳变零”点形成的圆，其半径是否为R？如果不是，那么其半径是否接近于R？是否存在由其他半径的“跳变零”点所形成的“假的”圆？

提示：计算Gauss函数与圆盘的卷积，是非常困难的，但是，我们可以使用如下事实：Lap lace算子和Gauss卷积是可交换的。

习题10.5请使用Tay lor展开式来证明：下面三个模板

所产生的结果分别为：

其中∇2表示：Lap lace算子。

习题10.6证明：如果我们用一个失焦的成像系统对一条理想的边缘进行成像，那么，所得到的“模糊”边缘的亮度b(x)为：(www.xing528.com)

其中，|x|＜R，并且，我们使用竖直朝向的单位阶梯函数作为输入，此外，我们假设模糊核（即：一个圆）的半径为R。记住：模糊核的积分一定等于1，这是因为：能量只是被分散了，并没有凭空产生或消失。进一步，请证明：边扩散函数的最大斜率等于b(x)的高和宽的比值再乘以4/π。

提示：边扩散函数是对线扩散函数的积分。

习题10.7如果我们要生成一个独立于坐标系的尺度输出，那么，旋转对称算子是非常有用的。我们已经介绍过一些旋转对称算子，包括：梯度的平方、二次变分和Laplace算子。另一个有用的概念是：与坐标系无关的向量。这种向量的模长与坐标系的选取无关；并且，向量所在的方向，相对于曲面来说是固定的。亮度梯度就是一个与坐标系无关的向量。

(a)假设：从点(x,y)到点(x′,y′)之间的变换为：

其中，矩阵R是一个正交的旋转矩阵，即：

并且，c2+s2=1。请证明：

(b)证明：(Ex,Ey)T是一个与坐标系无关的向量。请通过(Ex,Ey)T推导出：一个旋转对称的尺度。

(c)现在证明：

其中，R⊗R是：旋转矩阵R与其自身的K ronecker积，即：

(d)由此，我们可以进一步推断出：向量

是一个与坐标系无关的向量。请通过该向量，推导出一个旋转对称的尺度。

(e)请将：一阶和二阶与坐标系无关的向量组合在一起，推导出：两个旋转对称的尺度。提示：使用点积，然后将其中一个向量旋转90°，从而获得第二个尺度。

(f)证明：如果(a,b)T和(c,d)T都是与坐标系无关的向量，那么，(a2b2)(c2d2)+4abcd和(a2+c2)(b2+d2)都是旋转对称的尺度。

(g)由此，我们可以得出：下面的两个量都是旋转对称的。

习题10.8在某些情况下，我们希望检测图像中的直线，而不是边缘。例如，一个有趣的课题是：将工程图转化为符号形式，以便于计算机辅助设计（CAD）系统对其做进一步处理。这种情况下的“线”是指：具有低亮度的一维曲线。因此，不同于前面介绍的问题，即：寻找一阶导数的极值或二阶导数的“跳变零”点，我们这里所寻找的是：亮度的极值或一阶导数的“跳变零”点。

(a)请解释：为什么对于这种情况，寻找Ex=0和Ey=0的边缘检测器无法取得好的效果？

提示：如果亮度极小值沿着直线方向不是常数，会如何？

(b)我们可以将E(x,y)看作一个三维空间中的曲面。请证明：最速上升的方向为如下单位向量，即：

并且，沿着该方向的方向导数为：。

(c)请求出：使得二阶方向导数取得极值的两个方向。你可以用两个单位向量来表示这两个方向。证明：这两个方向之间的夹角是90°；并且，它们所对应的二阶方向导数的极值分别为：

提示：在练习3.5中，我们求得了：2×2的实对称矩阵的特征值和特征向量。

(d)我们现在需要确定：我们所寻找的线的中心点。我们可以求出：1)最速上升的方向，以及，2)二阶方向导数的最小值所对应的方向。使得这两个方向平行的点，就是我们所要找的中心点。请解释为什么我们可以这么做。

(e)请设计一个非线性算子，用来检测问题(d)中所定义的中心点。

(f)当图像区域的亮度为常数时，或者，当亮度随着x和y而发生线性变化时，你在上一问中所导出的算子将会有什么问题？请设法解决这个问题。

习题10.9本题中，我们将通过对简化模型的计算，来深入理解Hough变换。假设边缘检测结果构成一个4×4的二值图。请针对下面给出的4种情况逐一进行分析。

我们将ρl的11个取值设定为{5,4,···,0,1,···,5}；将θn的8个取值设定为{90°,60°,45°,30°,0°,30°,45°,60°}。相应地，Hough变换统计结果Nn,l构成一个11×8的矩阵，对应于下面的表格。请完成Hough变换的计算，填写下表。

习题10.10对于下面的二值图，请通过计算查找边缘和角点。

(a)请计算：式(10.25)中的P rew itt算子所得到边缘增强图像，进而给出Prew itt算子的边缘检测结果。

(b)请计算：式(10.28)中的Sobel算子所得到边缘增强图像，进而给出Sobel算子的边缘检测结果。

(c)分别选用4×4、5×5、6×6的窗口进行Harris角点检测，对所得到的结果进行对比分析，完成实验报告。

图10.13　Horn教授在《Robot V ision》中文版中题写的“致广大中国读者”。

习题10.11本题中，我们来探索一个具有挑战性的问题：对小图像区域进行拼接。一张写了文字的纸张，被碎纸机切割成许多形状规则的“小纸片”。我们将所有的“小纸片”收集起来后，希望能够通过算法，复原出纸张上的文字内容。图10.13中给出了Horn教授在《Robot Vision》中文版中题写的“致广大中国读者”^[4]，我们以这张图像为例，来进行实验。首先，我们将图10.13切割成一系列的“小方块”，如图10.14(a)所示；然后，对这些“小方块”进行随机排列，参见图10.14(b)。我们要探索的问题是：如何根据图10.14(b)复原出图10.13？显然，在这个任务中，边缘和角点发挥着重要作用。

图10.14　碎纸机对（写了文字的）纸张的处理过程和结果。

【注释】

[1]参见：D.Marr,V ision:A com putational Investigation in to the Hum an Represen tation and Processing ofV isual Inform ation,1982.

[2]在数值计算过程中，ρm只能取一系列的离散值（例如：取整数值），此时，ρm=应该相应地调整为ρm=，其中表示“四舍五入”操作。

[3]注意，沿着边缘法线方向的方向导数为：

[4]参见：《机器视觉》,Berthold K.P.Horn(著),王亮、蒋新兰(译),中国青年出版社。