离散近似：有限差分法计算偏导数

对于数字图像，我们先通过数值计算的方式，对上一小·节中谈到的算子进行离散化近似。由于数字图像已经进行了像素剖分，因此，我们采用有限差分对偏导数进行近似估计，也就是说，使用相邻离散点之间的差值来进行近似计算。

10.3.1　梯度算子的离散近似

让我们来考虑：一个由2×2的图像单元所构成的区域，即：

我们可以用如下方法来估计：这个区域的中心点处的偏导数，即：

其中，ϵ是：相邻两个像素中心之间的距离。上面的每一个估计值都是：对相邻的两个有限差分近似值取平均后得到的。我们使用式(10.20)和(10.21)来估计偏导数，是因为这两个公式所提供的对两个偏导数的无偏估计针对的是同一个点：四个像素点所共同拥有的公共角点。我们可以将式(10.20)和(10.21)进一步整理为：现在，我们可以将梯度模长的平方近似表示为：

如果我们将这个简单的计算过程应用于整张图像，那么，在图像亮度发生快速变化的地方，所得到的计算结果会非常大；而对于图像亮度为常数的区域，其输出结果为零（如果图像中存在噪声，那么，输出结果不为零，但是非常小）。我们可以将：梯度平方算子的输出结果（即：亮度梯度模长的平方），保存为一张新的图像。在这张新的图像中，原图中的边缘区域得到了很大的增强，因此，我们将其称为边缘增强图像。

在计算过程中，被处理图像中相应的像素点会被乘以一个系数，这个系数被称为权重。权重的排列模式被称为模板，或者计算结构单元。所谓权重的排列模式是指：将权重放置在不同的空间位置上，其空间位置用于：指明该权重系数应该与哪个像素点的灰度值相乘。式(10.20)和(10.21)所对应的模板为：

上面的模板又被称为P rew itt算子，在实际计算过程中，我们可以忽略前面的系数1/(2ϵ)。注意，Prew itt算子是对一个2×2像素区域中心点的梯度估计，而不是对某一个像素点的梯度估计。

事实上，Prew itt算子所针对的2×2像素区域的中心点，正好位于像素点(i,j)的右上角，如图10.3所示。我们只需要继续使用Prew itt算子，求出像素点(i,j)的另外三个角的梯度估计结果，然后，对这四个梯度估计结果取平均，即可得到对像素点(i,j)的梯度估计。

图10.3　Prew itt算子所针对的2×2像素区域的中心点，正好位于像素点(i,j)的右上角。我们只需要继续使用Prew itt算子，求出像素点(i,j)的另外三个角的梯度估计结果，然后，对这四个梯度估计结果取平均，即可得到对像素点(i,j)的梯度估计。

取平均的过程对应于一个卷积，也就是说，卷积后所得到的两个模板又被称为Sobel算子：

同样地，在实际计算过程中，我们可以忽略前面的系数1/(8ϵ)。注意，均值滤波器

是一个典型的低通滤波器。至此，Prew itt算子和Sobel算子之间的关系变得清晰明确了：

•Sobel算子的处理结果是：对Prew itt算子处理结果做均值滤波后所得到的结果。

因此，较之于Prew itt算子，Sobel算子可以有效地抑制随机噪声带来的影响。根据Prew itt算子和均值滤波器来计算Sobel算子是直接的，但是，能够通过观察Prew itt算子和Sobel算子来发现两者之间的关系，却并不那么容易，需要一定的数学基础。

我们还可以尝试通过二维Fou rier变换来得出Prew itt算子和Sobel算子之间的关系。对于Sobel算子(10.28)中第一个算子，相应的二维Fourier变换结果为：

其中

式(10.30)可以被进一步整理为：

上式中，等号右端的两个相乘项分别对应于模板：

对于Sobel算子(10.28)中第二个算子，相应的二维Fourier变换结果为：(www.xing528.com)

上式中的两个相乘项分别对应于模板：

根据卷积定理：

•频率域的乘积对应于空间域的卷积。

我们得到了Prew itt算子和Sobel算子之间的关系式(10.26)和(10.27)。

10.3.2　Laplace算子的离散近似

现在，让我们使用如下的离散近似：

在一个由3×3的像素点所构成的区域

上来估计中心像素点的Lap lace算子计算结果。于是，我们可以将Lap lace算子的处理结果近似表示为：

即：某一像素点的近邻像素点的亮度平均值与该像素点的亮度值之差。对于亮度值为常数的区域，这个结果显然为零。即使对于亮度值发生线性变化的区域，这个结果也是零。

在使用有限差分方法求解偏微分方程的过程中，我们常常会用到微分算子的这种离散近似方法，并且，将权重系数排列成模板或者计算结构单元的形式。式(10.39)所对应的模板为：

在上面的模板中，最左面的项（即：1/ϵ2）是：用于和所有权重相乘的因子。注意，使用Lap lace算子对图像进行处理，相当于该图像和一个广义函数进行卷积。该广义函数的定义为：一组具有“中心点处朝下、中心点周围被一圈正值所包围”（即：“中心/环绕”结构）特征的函数序列的极限。式(10.40)的模板会让你联想起：这个函数序列中的某一个函数。

对于正方形的格栅，我们难以得到一个旋转对称的模板，用来近似表示Lap lace算子。在前面，我们曾经尝试：通过得到一种“一致的”方式，从而定义：二值图像中像素点之间的连接关系。要解决这个问题，我们首先必须确定：对于某一个像素点所在邻域中的所有像素点，哪些像素点应该被认为是和该像素点连接在一起的。现在，我们面对同样的问题，也就是说，和某一个像素点相连的像素点应该是：只包括和该像素点的四条边连接在一起的四个像素点，还是应该将和该像素点的四个角相连的四个像素点也算进去？

对于正方形格栅，我们仍然可以继续进行处理。考虑：相对于原来的xy坐标系旋转45°后所得到的新坐标系。我们将新坐标系的坐标轴记为：x′和y′。在x′y′坐标系中，新的离散近似形式为：

于是，在新的x′y′坐标系下，Lap lace算子的离散近似形式为：

其对应的模板为：

显然，通过这两种模板（即：式(10.40)和(10.44)）的线性组合，我们可以得到：关于Lap lace算子的多种近似估计形式。一种被广泛使用的形式为：

我们将通过习题10.5来说明：使用该形式来对Lap lace算子进行估计，具有某一特定的精度。得到式(10.45)中模板的过程是：首先，将式(10.40)中的模板乘以2/3；然后，再将式(10.44)中模板乘以1/3；最后，将这两个结果加在一起。我们将通过习题10.5说明：式(10.45)中的模板所对应的算子可以被写为如下形式：

图10.4　边缘增强图像的仿真结果。(a)原始图像，包含240×240个像素。(b)基于Sobel算子的边缘增强图像，（背景中的）弱边缘被“忽略”掉了。(c)基于Lap lace算子的边缘增强图像，（背景中的）弱边缘被检测出来了，但是噪声被明显放大了。(d)用3×3的离散Gauss核对(c)做低通滤波，可以缓解噪声放大问题。

其中，∇2表示Lap lace算子，误差项e中包含六阶或六阶以上导数算子，这些导数算子前面的系数是ϵ4和更高的次幂。

图10.4中给出了一个实验仿真结果。图10.4(b)是基于Sobel算子的边缘增强图像，（背景中的）弱边缘被“忽略”掉了。图10.4(c)是基于Laplace算子的边缘增强图像，（背景中的）弱边缘被检测出来了，但是噪声被明显放大了。对图10.4(c)做低通滤波，可以缓解这一问题。图10.4(d)所示的是：用式(9.82)中3×3的离散Gauss核对Lap lace算子检测的结果进行滤波后，所得到的结果。