我们可以将输入信号f={fk,l}看作是（离散）正弦波的叠加，这是对输入信号进行分解的另一种方法，因为，一旦给定调制传递函数H(p,q)，我们就已经知道了：系统对于输入信号中的每一个“成分”（即：具有不同频率和相位的二维正弦波）的响应。
如果我们将f={fk,l}分解为：
那么，根据下面两个结论：1)系统的线性性质，2)e2iπ(kp/m+lq/n)是系统的特征向量，我们可以得到：
那么，根据下面两个结论：1)系统的线性性质，2)e2iπ(kp/m+lq/n)是系统的特征向量，我们可以得到：
现在剩下的唯一问题是：如何将信号分解为一系列的正弦波？正如我们一会儿将要证明的，这个问题的答案是：
现在剩下的唯一问题是：如何将信号分解为一系列的正弦波？正如我们一会儿将要证明的，这个问题的答案是：
让我们来进行简单的证明，首先，我们将式(9.13)中的求和变量的“名字”换一下，即：
让我们来进行简单的证明，首先，我们将式(9.13)中的求和变量的“名字”换一下，即：
然后，将式(9.16)代入式(9.15)中，等号右边的项可以进一步写为：
然后，将式(9.16)代入式(9.15)中，等号右边的项可以进一步写为：
上式可以进一步写为：
上式可以进一步写为：
注意，方括号内部是等比数列求和的形式，正如我们在上一章中所分析的，其结果为：
注意，方括号内部是等比数列求和的形式，正如我们在上一章中所分析的，其结果为：
将上面两式代入式(9.18)，在对p′和q′求和的众多项中，只有p′=p且q′=q的那一项不为零，其他项都是零。因此，
将上面两式代入式(9.18)，在对p′和q′求和的众多项中，只有p′=p且q′=q的那一项不为零，其他项都是零。因此，
因此，式(9.15)成立。式(9.15)中的F(p,q)被称为：图像
的离散Fou rier变换，而式(9.13)被称为相应的离散Fou rier逆变换。
类似地，我们可以定义图像g={gk,l}的离散Fourier变换，记为G(p,q)。根据式(9.14)，我们可以得到：
因此，式(9.15)成立。式(9.15)中的F(p,q)被称为：图像
的离散Fou rier变换，而式(9.13)被称为相应的离散Fou rier逆变换。
类似地，我们可以定义图像g={gk,l}的离散Fourier变换，记为G(p,q)。根据式(9.14)，我们可以得到：
较之于下式
较之于下式
式(9.22)要简单很多。对比式(9.22)和(9.23)，可以得到卷积定理：
•通过离散Fou rier变换，空间域的卷积变成了频率域的乘积！
我们再一次看到，调制传递函数H(p,q)描述了：系统是如何对输入信号的每一个（频率）成分F(p,q)进行放大或缩小的。因此，线性移不变系统的作用好比是一个滤波器，该滤波器对输入信号的所有频谱成分进行选择性地放大或缩小。这就是滤波器所做的全部事情。
我们可能会得出这样的结论：只使用线性移不变滤波器会严重地制约着我们所能实现的功能。但是，线性移不变系统在数学上容易处理，因此，线性移不变滤波器使得我们可以推导出许多有用的结果。注意：离散Fou rier变换：
式(9.22)要简单很多。对比式(9.22)和(9.23)，可以得到卷积定理：
•通过离散Fou rier变换，空间域的卷积变成了频率域的乘积！(www.xing528.com)
我们再一次看到，调制传递函数H(p,q)描述了：系统是如何对输入信号的每一个（频率）成分F(p,q)进行放大或缩小的。因此，线性移不变系统的作用好比是一个滤波器，该滤波器对输入信号的所有频谱成分进行选择性地放大或缩小。这就是滤波器所做的全部事情。
我们可能会得出这样的结论：只使用线性移不变滤波器会严重地制约着我们所能实现的功能。但是，线性移不变系统在数学上容易处理，因此，线性移不变滤波器使得我们可以推导出许多有用的结果。注意：离散Fou rier变换：
和离散Fou rier逆变换：
和离散Fou rier逆变换：
之间并不完全对称。我们将Fourier正变换和逆变换中的常数因子选为如上形式，只是为了与其他教科书保持一致。由于Fourier变换与其逆变换几乎对称，因此，我们所推导出的关于离散Fourier变换的性质，对于离散Fourier逆变换也是成立的。
此外，我们得到了如下结论：
•系统的调整传递函数H(p,q)是：点扩散函数h(x,y)的离散Fourier变换结果。
根据卷积定理，我们可以直接得出卷积的交换律和结合律（乘法的性质）。
注意：由于Fourier正变换和逆变换是几乎对称的，因此，我们可以证明：对于两个矩阵的点乘dk,l=ak,lbk,l，其离散Fourier变换为：
之间并不完全对称。我们将Fourier正变换和逆变换中的常数因子选为如上形式，只是为了与其他教科书保持一致。由于Fourier变换与其逆变换几乎对称，因此，我们所推导出的关于离散Fourier变换的性质，对于离散Fourier逆变换也是成立的。
此外，我们得到了如下结论：
•系统的调整传递函数H(p,q)是：点扩散函数h(x,y)的离散Fourier变换结果。
根据卷积定理，我们可以直接得出卷积的交换律和结合律（乘法的性质）。
注意：由于Fourier正变换和逆变换是几乎对称的，因此，我们可以证明：对于两个矩阵的点乘dk,l=ak,lbk,l，其离散Fourier变换为：
其中，D(p,q)、A(p,q)和B(p,q)分别为：dk,l、ak,l和bk,l的离散Fourier变换结果。这个结论的证明过程和我们上面的证明过程很相似。进一步，我们可以考虑卷积c=a*b在点(0,0)处的值，即：
其中，D(p,q)、A(p,q)和B(p,q)分别为：dk,l、ak,l和bk,l的离散Fourier变换结果。这个结论的证明过程和我们上面的证明过程很相似。进一步，我们可以考虑卷积c=a*b在点(0,0)处的值，即：
对C(p,q)做离散Fourier逆变换，我们可以得到：
对C(p,q)做离散Fourier逆变换，我们可以得到：
由于C(p,q)=A(p,q)B(p,q)，根据式(9.27)和(9.28)，我们可以得到：
由于C(p,q)=A(p,q)B(p,q)，根据式(9.27)和(9.28)，我们可以得到：
注意：矩阵{a-i′,-j′}的离散Fourier变换为A*(p,q)，即A(p,q)的共轭（注意观察式(9.15)）。用ai′,j′替代式(9.29)中的a-i′,-j′，我们可以得到：
注意：矩阵{a-i′,-j′}的离散Fourier变换为A*(p,q)，即A(p,q)的共轭（注意观察式(9.15)）。用ai′,j′替代式(9.29)中的a-i′,-j′，我们可以得到：
如果{ai′,j′}是实数，并且，令bi′,j′=ai′,j′（对于所有i和j都成立），那么，我们可以得到：
如果{ai′,j′}是实数，并且，令bi′,j′=ai′,j′（对于所有i和j都成立），那么，我们可以得到：
这里，|A(p,q)|2=A*(p,q)A(p,q)。这个结果说明：空间域的能量和频率域的能量是相等的！这个结论被称为Parseval定理；其等价的连续形式被称为Raleigh定理。
这里，|A(p,q)|2=A*(p,q)A(p,q)。这个结果说明：空间域的能量和频率域的能量是相等的！这个结论被称为Parseval定理；其等价的连续形式被称为Raleigh定理。
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