优化二维信号的情况

图像是一个二维信号，因此，我们需要将上述对一维信号的分析方法拓展到二维信号的情况。事实上，二维或高维信号在计算机中都是按照一维信号进行存储的，因此，这个拓展也是比较自然的，我们可以尝试将二维图像重新排列成一维信号，同时记录下图像的尺寸，就可以在（被重新排列成的）一维信号中对图像中的像素点进行索引。本节中，我们将探讨一些相关细节。

首先要解决的第一个问题是：对于二维输入信号x={xi,j}（其中i=0,1,···m1，j=0,1,···n1），式(8.2)的具体形式是什么？

事实上，式(8.2)中的矩阵A是一组行向量，每一个行向量与x做内积，从而生成了输出信号y中的各个元素分量。我们将这个过程“移植”过来，就能解决上面提出的问题。首先，我们需要定义二维信号（图像或矩阵）a={ai,j}和x={xi,j}之间内积：

也就是说，两个矩阵的对应元素相乘再相加。我们可以将矩阵a={ai,j}称为一个作用子，而式(8.2)中的A对应着一组作用子。我们需要对这一组作用子进行编号，也就是说，

其中k=0,1,2,···,m′1，l=0,1,2,···,n′1，索引号(k,l)用于在A中查找和定位作用子。此时，A是一个四维的矩阵，又称为张量，编号为(k,l)的作用子a(k,l)仍然是一个矩阵：

其中i=0,1,2,···,m1，j=0,1,2,···,n1，如图8.5所示。

张量A中的所有作用子a(k,l)逐一地作用于输入图像x={xi,j}，也就是说，与图像x={xi,j}做内积，所得到的结果：

按照作用子a(k,l)的索引号(k,l)排列成矩阵y={xk,l}，就是系统输出的图像信号。现在，我们来考虑一种极其特殊的情况：张量A中的所有作用子a(k,l)都是通过同一个作用子a进行（左右和上下）平移而得到的。也就是说，作用子a(k,l)中的元素

可以直接通过查找作用子a={ai,j}而得到，相应的索引号为(ik,jl)。此时，式(8.91)可以进一步写为：

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图8.5　对于二维信号的情况，A={a(k,l)}是一个四维张量，编号为(k,l)的作用子a(k,l)仍然是一个矩阵，其中k,l=0,1,···5。为了便于显示，矩阵尺寸选为14×14。

对应的输出图像y称为a和x（输入图像）的（二维）相关。上式描述的是：我们所熟知的模板（也称滑动窗口）a在图像x上“滑动”的计算过程，如图8.6所示。参数k和l描述了模板a的移动量。我们将模板a称为生成作用子，用以生成张量A。

图8.6中所示的通过“窗口滑动”来计算相关的过程，是图像处理中的一种基本操作方式，有着诸多应用，例如：滤波、边缘检测、模板匹配等等。在后续章节中，我们还会对其进行详细讨论。

另一种极其特殊的情况：张量A中的所有作用子a(k,l)都是通过同一个作用子a经过“翻转”和平移而得到的。此时，我们也可以直接通过查找（固定的）作用子a={ai,j}中的元素，来得到任意一个作用子a(k,l)中的所有元素相应的索引号为(ki,lj)。此时，式(8.91)可以进一步写为：

图8.6　计算相关所描述的是：模板（也称为滑动窗口）a在图像x上“滑动”的过程。参数k和l描述了模板（即“滑动窗口”）a的移动量。计算相关所对应的“滑动窗口”过程是图像处理的基本操作方式。

对应的输出图像y称为：输入图像x与矩阵a的（二维）卷积。上式常常被用来描述图像的模糊模型，其中a也被称为点扩散函数。在第9章中，我们将详细讨论相关内容。

最后，我们要对二维相关(8.93)和二维卷积(8.95)做一些补充说明。注意：在式(8.93)的计算过程中，会出现ai-k,j-l中的ik＜0（或jl＜0)）的情况。出现上述情况时，我们需要将ik相应地调整为ik+m（或将jl相应地调整为jl+n）。同样地，在式(8.95)的计算过程中，当出现ki＜0（或lj＜0）时，需要将其相应地调整为ki+m（或lj+n）。

事实上，我们可以通过模运算来描述上述过程：

其中mod(ik,m)表示：ik除以m后所得到的余数，取值在0到m1之间。事实上，上述操作是采用周期化的方式，来查找作用子a={ai,j}中的各个元素。

图8.7　后向投影的具体实现过程为：首先，根据图2.20中的CT扫描结果矩阵（一个数据阵列）C={ck,l}，逐行读取数据；然后，根据数据ck,l所对应的直线参数θ和rθ，将ck,l的值“加在”直线rθ=x cosθ+y sinθ所经过的图像像素点(x,y)T上。