多项式的平移操作

在上面的讨论中，我们始终围绕“矩阵中的某一列整体向下平移一个单位”这项操作而进行的，也就是说，

我们需要将“整体向下平移一个单位”这个语言性描述，变成数学运算和操作，以完成进一步的理论分析。解决这一问题的一种方式是：将向量转化为一个多项式，然后对多项式进行处理，最后再还原出处理后的向量。首先，定义多项式：

我们需要将“整体向下平移一个单位”这个语言性描述，变成数学运算和操作，以完成进一步的理论分析。解决这一问题的一种方式是：将向量转化为一个多项式，然后对多项式进行处理，最后再还原出处理后的向量。首先，定义多项式：

其中，1,z,z2,z3,···,zm+n-1称为多项式p(z)的一组基，相应地，多项式的系数向量(a0,a1,···,am-1,0,0,···)T为：对应的线性组合系数。在多项式的两端同时乘以z，就得到了“整体平移一个单位”后的向量所对应的多项式，也就是说，

其中，1,z,z2,z3,···,zm+n-1称为多项式p(z)的一组基，相应地，多项式的系数向量(a0,a1,···,am-1,0,0,···)T为：对应的线性组合系数。在多项式的两端同时乘以z，就得到了“整体平移一个单位”后的向量所对应的多项式，也就是说，

于是，相应的多项式系数所构成的向量(0,a0,a1,···,am-1,0,0,···)T就是：原始向量(a0,a1,···,am-1,0,0,···)T“整体平移一个单位”后的结果。至此，我们借助多项式这一工具，建立了“整体平移一个单位”这一操作的数学计算模型：多项式乘以z。

事实上，我们对上面这个结论并不陌生。多项式是我们最熟悉的数学模型，因为“钱”本身就是一个多项式。例如：53元钱事实上是3×100+5×101，对应着5张10元的纸币和3张1元的纸币。整体平移操作对应着：将10元的纸币更换为100元的纸币、将1元的纸币更换为10元的纸币，于是，钱的总数变成了0×100+3×101+5×102=530元，正好等于53元乘以10。对比上式不难发现，这个我们所熟悉的关于钱的例子正好是z=10时的特殊情况。我们平时生活中所熟悉的是10进制，而多项式与平移操作之间的关系只是将其推广到了更为一般的z进制的情况！

我们可以用多项式的一组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1去乘以矩阵A中的某一列，就可以用这组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1去乘以整个矩阵A，于是可以得到：

于是，相应的多项式系数所构成的向量(0,a0,a1,···,am-1,0,0,···)T就是：原始向量(a0,a1,···,am-1,0,0,···)T“整体平移一个单位”后的结果。至此，我们借助多项式这一工具，建立了“整体平移一个单位”这一操作的数学计算模型：多项式乘以z。(www.xing528.com)

事实上，我们对上面这个结论并不陌生。多项式是我们最熟悉的数学模型，因为“钱”本身就是一个多项式。例如：53元钱事实上是3×100+5×101，对应着5张10元的纸币和3张1元的纸币。整体平移操作对应着：将10元的纸币更换为100元的纸币、将1元的纸币更换为10元的纸币，于是，钱的总数变成了0×100+3×101+5×102=530元，正好等于53元乘以10。对比上式不难发现，这个我们所熟悉的关于钱的例子正好是z=10时的特殊情况。我们平时生活中所熟悉的是10进制，而多项式与平移操作之间的关系只是将其推广到了更为一般的z进制的情况！

我们可以用多项式的一组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1去乘以矩阵A中的某一列，就可以用这组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1去乘以整个矩阵A，于是可以得到：

可以看到，一组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1经过矩阵A的作用后，还是一组基1,z,z2,z3,···,zn-1，只是基的个数变少了。基于上面的结论，我们可以进一步计算

可以看到，一组基1,z,z2,z3,···,zm+n-1经过矩阵A的作用后，还是一组基1,z,z2,z3,···,zn-1，只是基的个数变少了。基于上面的结论，我们可以进一步计算

其中，多项式

其中，多项式

注意，A x=a*x是卷积运算，参见式(8.8)。因此，式(8.25)已经给出了卷积定理的“雏形”：多项式的乘积对应于多项式系数的卷积。在这里，我们要强调一个重要的观念：我们应该从多项式的角度去理解Fou rier变换。后面，我们会结合这个观点来深入理解卷积定理。

注意，A x=a*x是卷积运算，参见式(8.8)。因此，式(8.25)已经给出了卷积定理的“雏形”：多项式的乘积对应于多项式系数的卷积。在这里，我们要强调一个重要的观念：我们应该从多项式的角度去理解Fou rier变换。后面，我们会结合这个观点来深入理解卷积定理。