图像形成过程与射线立体角相关性的探索

下一步，我们来寻找：物体上某一点的辐射量（即：场景的辐射强度）和其对应的图像上的点的辐照量（即：图像的辐照强度）之间的关系。让我们来考虑：一个直径为d、和像平面之间的距离为f的透镜（如图3.5所示）。在物体表面选取一块面积为δΩ的小区域，它所对应的图像上的小区域的面积为δI。假设：从物体上的小区域“出发”、延伸到透镜中心的射线，与光轴和（该小区域的）法向量之间的夹角分别为α和θ，并且，物体位于透镜前方距离为z的位置上。（由于在定义成像系统的坐标系时，我们所使用的约定是：z轴指向像平面，因此，z前面需要加上负号）。

物体上的某一个小区域的面积和它所对应的图像区域的面积之间的比值，取决于：1)这两个小区域和透镜之间的距离，以及，2)我们所使用的成像投影模型。经过透视中心的光线不发生折射，因此，由所有指向物体小区域的射线所张成的圆锥的立体角，等于由所有指

图3.4　某一个“小块”所“占据”的立体角，和该小块的面积以及该小块和入射光之间的夹角θ的余弦成正比；和该小块到原点的距离R的平方成反比。

向其对应的图像区域的射线所张成的圆锥的立体角。从透镜中心看过去，图像区域的有效面积为：δI cosα，而图像区域和透镜中心之间的距离为：f/cosα，因此，由该图像区域所张成的立体角为：

类似的，由物体上的小区域所张成的立体角为：

这两个立体角相等，因此，我们可以整理得到：

下一步，我们需要确定：在从物体上的某一个小区域所发出的光线中，有多少能够穿过透镜（如图3.6所示）。从物体上的小区域看过去，透镜所张成的立体角为：

因此，从物体上的小区域“出发”、穿过透镜的光的功率为：(www.xing528.com)

图3.5　为了得到：图像辐照强度和物体表面辐射强度之间的关系，我们必须确定：物体表面“小块”所对应的图像区域的尺寸。

其中L是：物体上的小区域沿着透镜方向的辐射强度。这些光被全部汇聚在图像区域上（如果我们忽略透镜的缺陷的话）。再没有其他的光到达该图像区域，因此，该图像区域的辐照强度为：

将δO/δI的表达式（即：式(3.4)）代入上式，于是，我们最终得到：

因此，我们得到一个重要结论：

•图像的辐照强度和场景的辐射强度成正比。这个关系是我们从图像中恢复出物体相关信息的基础！式(3.8)中的比例系数包括：(1)有效f-数（即：f/d）的倒数的平方，以及(（2)一个衰减项。这个衰减项的衰减速率为：从图像上的点到透镜中心的射线与光轴的夹角的余弦的4次方。如果图像的视野范围很小，也就是说，这个夹角的取值范围非常小（例如：望远镜），那么，这个衰减项所起的作用并不是很大。

图3.6　为了得到：图像的辐照强度和物体表面的辐射强度之间的关系，我们必须确定：从物体表面所发出的光，有多少被透镜汇聚到了图像上。这取决于：从物体表面上的某一点看过去，透镜所“占据”的立体角大小。

此外，通常的透镜系统是由：放置在光轴上的多个光圈所构成的，这种结构会阻挡：某些和光轴成一定夹角的光线，从而形成光晕现象^[1]。通常情况下，光晕所造成的衰减比式(3.8)中的余弦项更加严重。使用多光圈系统是为了减小图像失真，如果不使用多光圈系统，图像将会产生严重的失真，随着像素点偏离光轴的角度α的增大，失真的程度将以指数形式增加。在任意一种情况下，对于给定的成像系统，不同位置的像素点对场景辐射强度的灵敏度，和角度α之间的关系是确定的，并且，我们可以求出具体的函数形式。

总结：本节中，我们得到了一个非常重要的结论。我们所得到的测量结果（图像辐照强度E）与我们所关心的结果（场景辐射强度L）成正比！从另一个方面看，我们已经定义了辐射，从而使得辐射对应于：我们在谈论“亮度”时所真正想表达的意思，而我们所谈论的“亮度”竟然是和图像的辐照强度有关系的。