(1)常用的数制
常用的数制有十进制、二进制、八进制及十六进制。在使用时,用下标10、2、8、16或在数后面加英文字母D、B、O、H表示某个数是十进制、二进制、八进制、十六进制。
1)十进制
在日常生活中,十进制是人们最熟悉的计数体制。其计数规律是逢十进一。十进制的基数为10,包含0～9这10个数码。当数码所处的位置不同,所代表的数值也不同。
例如,(12.34)10=1×101+2×100+3×10-1+4×10-2,其中10i为第i位的权,各位数所表示的数值是该位数码与相应的权的乘积。因此,任意一个十进制数整数都可写成按权展开式
式中,Ki为第i位的系数,是0～9这10个数字符号中的一个;10i为第i位的权。如果以N代替式(10.1.1)中的10,即可得到任意进制(N进制)的按权展开式
2)二进制
二进制是数字电路中应用最广的计数体制。其计数规律是逢二进一。二进制的基数为2,只有0和1两个数码。各位数的权是2的幂,式(10.1.2)中将N用2代替就是二进制整数(M)2的按权展开式。
3)八进制
八进制数的计数规律为逢八进一。八进制的基数为8,有0～7这8个数码。各位数的权是8的幂。
4)十六进制
在书写计算机程序时,经常使用十六进制。十六进制的计数规律是逢十六进一。十六进制的基数为16,有16个不同的数码,分别为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。各位数的权是16的幂。
(2)不同数制之间的转换
1)二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数
任意进制数按权展开后相加就转换为对应的十进制数。
【例10.1.1】 求(101.11)2,(234)8,(9F)16所对应的十进制数。
解
2)十进制数转换为二进制、八进制、十六进制数
将十进制数转换为二进制、八进制和十六进制数时,对整数部分,分别采用“除2(或除8、除16)取余法”;对小数部分,分别采用“乘2(或乘8、乘16)取整法”。
以十进制数转换为二进制数为例,将十进制整数用2连除,直至商为0,每除一次记下余数,把所得的余数从后向前排列,即为二进制数整数部分;将十进制小数乘以2,每乘一次记下乘积的整数,直至乘积的整数位数达到要求为止,把所得乘积的整数从前向后排列,即为二进制数小数部分。
【例10.1.2】 将十进制整数(39.635)10换成二进制数,要求小数点后面保留3位。
解 (1)转换整数部分
(2)转换小数部分
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转换结果为
3)二进制与八进制、十六进制之间的转换
二进制数转换为八进制数时,整数部分从低位开始分组,每3位二进制数为一组,最后一组若不足3位,在前面补0,补足3位为止;小数部分从高位开始分组,每3位二进制数为一组,最后一组若不足3位,在后面补0;然后每3位二进制数用对应的1位八进制数代替。八进制数转换为二进制数时,将每位八进制数用3位二进制数代替即可。
二进制数与十六进制数之间的转换方法与二进制数与八进制数的转换方法类似,只是在分组时每4位二进制数分为一组。
【例10.1.3】 将二进制整数(1011011.10101)2转换成对应的八进制数。
解 (1011011.10101)2=(001 011 011.101 010)2=(133.52)8
【例10.1.4】 将八进制数(731.24)8转换成对应的二进制整数。
解 (731.24)8=(111 011 001.010 100)2
【例10.1.5】 将二进制数(1111011011.1011101)2转换成对应的十六进制数。
解 (111101011.10110101)2=(0001 1110 1011.1011 0101)=(1EB.B5)16
【例10.1.6】 将十六进制数(3E.72)16转换成对应的二进制数。
解 (3E.72)16=(00111110.01110010)2
(3)二进制代码
在数字电路中,通常用一定位数的二进制数码来表示特定的信息。用于表示不同信息的若干个二进制数码,称为代码。
1)二-十进制代码
表示一位十进制数0～9的4位二进制数码,称为二-十进制代码(Binary Coded Decimal Codes),简称BCD码。4位二进制代码有24=16种组合状态,若从中选取10种组合表示一位十进制数,可以有多种方式,因此,有多种BCD码。表10.1.1是几种常用的BCD码。
表10.1.1 几种常用的二-十进制码
续表
8421BCD码是应用最广泛的一种代码。8421BCD码选取的是4位二进制数的前10个。这种代码每一位的权是固定不变的,称为恒权码;从高位到低位的权值分别是8、4、2、1,故称8421码。
2421BCD从高位到低位的权值分别是2、4、2、1,故称2421码。5421BCD从高位到低位的权值分别是5、4、2、1,故称5421码。代码中出现1的各位权值之和就是它所表示的十进制数。
余3码是无权码。余3码与8421BCD码对应的二进制数之差为3(0011),余3码由此得名。
2)格雷码
格雷码(Gray Code)又称循环码。它是一种无权码,见表10.1.2。其特点是相邻两个代码只有一位数字不同,而且首尾(0和15)两个代码也仅有一个数字不同。格雷码常用于模拟量的转换。当模拟量的微小变化引起数字量发生变化时,格雷码只有一位改变,减少出错的可能性。
表10.1.2 四位格雷码表
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