电阻、电感、电容元件VCR的相量形式分析

(1)电阻元件

1)电阻元件VCR的相量形式

如图3.3.1(a)所示,电阻R上的电压与电流采用关联参考方向。设通过电阻的电流为,其相量为,依据欧姆定律,电阻R两端的电压为

可知,电阻上的电压与电流频率相同、相位相同,电压与电流有效值之间的关系为

由于,则电压与电流的相量关系为

即

式(3.3.3)为电阻元件VCR的相量形式,也称欧姆定律的相量形式,反映了线性电阻元件的电压相量与电流相量之间的约束关系。电阻元件端口电压相量与电流相量的比值,称为阻抗,用Z表示,单位是欧[姆](Ω),即电阻元件的阻抗Z=R。阻抗Z是一个复数,不是正弦量,故其上不加点。

由于电阻的电压和电流相位相同,因此为了简化,假设ψu=ψi=0,则电压与电流的波形图和相量图如图3.3.1(b)和图3.3.1(c)所示。

图3.3.1　电阻元件的电压、电流的波形图和相量图

2)电阻元件的功率

电阻在任意瞬间的功率,称为瞬时功率。其值为瞬时电压与瞬时电流的乘积,用符号p表示。设,则瞬时功率为

可知,正弦交流电路中电阻的瞬时功率也随时间变化。瞬时功率大于或等于零,说明电阻总是从电源吸收电能,并将其转化为热能而消耗掉,这种能量的转化是不可逆的,故电阻元件称为耗能元件。

由于瞬时功率随时间而变化,因此在电工技术中,通常采用瞬时功率的平均值来衡量功率的大小。一个周期内电路所消耗功率的平均值,称为平均功率,用符号P表示,即

平均功率又称有功功率,单位为瓦[特](W)。通常所说的功率,一般都是指平均功率,习惯上把“平均”“有功”省略,简称功率。例如,25 W的白炽灯、50W的电烙铁、1 500W的电阻炉等,都是指它们的平均功率。

(2)电感元件

1)电感元件VCR的相量形式

如图3.3.2(a)所示,电感L的电压与电流采用关联参考方向。设通过电感的电流i=,其相量为由电感的伏安关系得出电感两端的电压为

图3.3.2　电感元件的电压电流波形图和相量图

式(3.3.6)表明,电感电压、电流的有效值关系、相位关系分别为

式中,XL=ωL称为感抗,单位为欧[姆](Ω),反映了电感对电流的阻碍作用。对一定的电感量L,频率越高,感抗越大,电感对电流的阻碍作用越大;频率越低,感抗越小,电感对电流的阻碍作用越小;当电源频率ω=0时(相当于直流电),XL=ωL=0,电感对直流电没有阻碍作用,相当于短路。因此,电感具有通低频、阻高频的特点。

因故电感元件电压、电流的相量关系为

即

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式(3.3.8)为电感元件VCR的相量形式,也称欧姆定律的相量形式。电感元件的阻抗Z=j XL。可知,电感的电压超前于电流90°。假设ψi=0,则电压与电流的波形图和相量图如图3.3.2(b)和图3.3.2(c)所示。

2)电感元件的功率

设电感上的电流和电压分别为则电感的瞬时功率为

由式(3.3.9)可知,电感的瞬时功率是幅值为UI、角频率为2ω的正弦量。其平均功率为

可知,电感元件不消耗能量(平均功率为零),只与电源之间进行能量交换,是储能元件。电感元件与电源之间能量交换的规模(瞬时功率的最大值)用无功功率Q表征,其单位为乏(var),即

【例3.3.1】　某电感元件两端的电压为,其参数L为1H,求电感元件的电流i及无功功率QL。

解　由题意得:=220∠120°V,ω=314 rad/s,于是

因此,电感元件上的电流为

电感元件的无功功率为

(3)电容元件

1)电容元件VCR的相量形式

如图3.3.3(a)所示,电容C两端的电压与电流采用关联参考方向。设电容两端的电压,其相量为由电容的伏安关系,得出电容的电流为

式(3.3.11)表明,电容电压、电流的有效值关系、相位关系分别为

式中,称为容抗,反映了电容对电流的阻碍作用,单位为欧[姆](Ω)。对一定的电容量C,频率越高时,容抗越小,电容对电流的阻碍作用越小;频率越低,容抗越大,电容对电流的阻碍作用越大;在直流电路中,容抗视为∞,电容相当于开路。因此,电容具有通交流、隔直流,以及通高频、阻低频的特点。

因故电容元件电压、电流相量之间的关系为

即

式(3.3.13)为电容元件VCR的相量形式,也称欧姆定律的相量形式。电容元件的阻抗Z=-j XC。可知,电容的电压滞后于电流90°。假设ψu=0,则电压与电流的波形图和相量图如图3.3.3(b)和图3.3.3(c)所示。

图3.3.3　电容元件及其电压、电流的波形图、相量图

2)电容元件的功率

设电容元件上的电流和电压分别为电容的瞬时功率为

从式(3.3.14)可知,电容的瞬时功率是幅值为UI、角频率为2ω的正弦量。其平均功率为零。可知,电容元件不消化能量,只与电源进行能量交换,是储能元件。电容与电源之间能量交换的规模同样用无功功率Q表征,即