RC电路的暂态分析技巧

对一阶暂态电路进行分析常采用经典法,即依据电路的基本定律列出描述暂态电路的微分方程,求解暂态电路中电压、电流响应的方法。下面用经典法分析RC暂态电路。

(1)RC电路的零输入响应

在一阶电路中,若没有外施激励,称为零输入。在零输入条件下仅由储能元件的初始储能引起的响应,称为零输入响应。

RC电路的零输入响应,实质上是电容器在放电过程中所产生的电流、电压响应。如图2.6.2(a)所示的一阶RC电路,当开关S置于“1”端时电路已处于稳态,即电容的电压为uC(0-)=U0;在t=0时将开关S置于“2”端从而引起换路(见图2.6.2(b)),由换路定则可得uC(0+)=uC(0-)=U0。

换路后,在t=0+时RC电路脱离电源,已充了电的电容器通过电阻R放电,电路中形成放电电流i。随着放电时间的增加,电容器中的储能逐渐被电阻消耗,电容器两端的电压uC逐渐降低,最后趋于零。可知,换路后电路中的响应仅是由电容的初始储能引起的,即为零输入响应。

图2.6.2　RC电路的零输入响应

列出换路后电路(见图2.6.2(b))的KVL方程,即

式中(负号表示i与uC的参考方向非关联),代入上式可得

解此微分方程并将初始值uC(0+)=uC(0-)=U0代入,得电容的电压、电流响应为

电容电压uC、电流iC的变化曲线如图2.6.3所示。可知,电容电压uC和电容电流iC以相同的指数规律变化,其变化的快慢取决于电路参数R和C的乘积。

若令τ=RC,则τ具有时间的量纲,故将τ=RC称为电路的时间常数。

于是,式(2.6.2)和式(2.6.3)可写为

还可将式(2.6.4)写成常用的表达式,即

根据式(2.6.4)计算出电容放电电压uC随时间变化的典型数值,并列于表2.6.1中。

表2.6.1　电容放电电压uC随时间变化的典型数值

由表2.6.1可知,当t=0时,uC=U0;当t=τ时,uC=0.368U0。电容放电时时间常数τ的物理意义为:换路后电容电压uC衰减到其初始值U0的36.8%所需要的时间。由此可得以下结论:

①时间常数τ是用来表征暂态过程快慢的物理量。τ越大,暂态过程越慢;反之,τ越小,暂态过程越快。不同τ值时uC随时间的变化曲线如图2.6.4所示。

图2.6.3　RC电路的零输入响应曲线

图2.6.4　不同τ值对应的uC曲线

②理论上,只有经过t=∞的时间,电容电压uC才能从初始值衰减到零,电路才能完成暂态过程,进入稳定状态。但由于在t=3τ时,uC=0.05U0;在t=5τ时,uC=0.007U0。因此,在实际中一般认为只要经过t=(3～5)τ的时间,暂态过程就基本结束。(www.xing528.com)

③时间常数τ(τ=RC)仅由换路后的电路参数决定。它反映了该电路的固有特性,与外施激励及换路前的情况无关。其中,R为换路后从电容C两端看到的戴维宁等效电阻值。

(2)RC电路的零状态响应

在一阶电路中,如果储能元件的初始储能为零,称为零状态。在零状态条件下,电路换路后仅仅由外施激励引起的响应,称为零状态响应。

图2.6.5　RC电路的零状态响应

RC电路的零状态响应,实质上是储能为零的电容在充电过程中所产生的电流、电压响应。如图2.6.5所示,RC电路在直流电源作用下对电容充电。换路前(t<0时)开关S处于断开位置,电容C未被充电,uC(0-)=0,即为零状态。在t=0时开关S闭合,电路发生换路,RC电路与直流电源接通,电源对电容进行充电。由于换路瞬间电容电压是不能跃变的,即uC(0+)=uC(0-)=0 V。因此,电容电压从零开始逐渐增加,同时产生充电电流。当电容电压上升到电源电压(即uC=US)时,电容充电完毕,暂态过程结束。此后,电路中的电流与电压不再变化,电路进入稳态,此时对应的电压、电流为稳态值,记为uC(∞)和iC(∞)。用经典法对一阶RC暂态电路的零状态响应作定量分析,可得

还可将式(2.6.7)写成常用的表达式为

uC和i随时间变化的曲线如图2.6.6所示。如图2.6.7所示为不同时间常数电容电压的波形曲线。依据式(2.6.7)计算出uC随时间变化的过程,并列于表2.6.2中。

图2.6.6　RC电路的零状态响应曲线

图2.6.7　不同τ值对应的u曲线
c

表2.6.2　电容充电时电压uC随时间变化过程

可知,电容充电时τ的物理意义是uC由初始值上升到稳态值的63.2%所需的时间。

在实际应用中,认为经过t=(3～5)τ的时间,电路就达到稳定状态,电容的充电过程基本结束。

(3)RC电路的全响应

如果电路中储能元件的初始储能不为零,同时又有外施激励的作用,那么,由储能元件的初始储能和外施激励共同作用引起的响应,称为全响应。

图2.6.8　RC电路的全响应

如图2.6.8所示为RC电路的全响应。设电路换路前(t<0时)开关S处于位置“1”,电容有初始储能,uC(0-)=U0。在t=0时,电路发生换路,开关S拨到位置“2”,接入直流电源US。此时,uC(0+)=uC(0-)=U0。

换路后,若电容电压的初始值小于电源电压(U0<US),是电容充电的过程;若电容电压的初始值大于电源电压(U0>US),是电容放电的过程;若电容电压的初始值等于电源电压(U0=US),储能元件没有能量的变换,RC电路无暂态过程,在换路瞬间立即进入稳态。用经典法对一阶RC暂态电路的全响应作定量分析,可得

可知,RC电路的响应uC可分为两部分:是由电容的初始储能产生的,为零输入响应;是由外施激励产生的,为零状态响应。即一阶暂态电路的响应可看成零输入响应和零状态响应的叠加。式(2.6.10)也可整理为

式(2.6.12)中,uC(∞)为稳态分量为暂态分量。