离散化技术：实现空间值的近似替代

离散化是指将求解区域的空间分割为网格，以网格上的离散的值来近似空间上连续的值。每一个解析网格即一个控制体，如图1-1所示。

图1-1 控制体

离散化一般的实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互补重叠的子区域，确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制体积。区域离散化过程结束后，可得到以下4种几何要素：

1）节点，即需要求解的未知物理量的几何位置；

2）控制容积，即应用控制方程或守恒定律的最小几何单位；

3）界面，规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置；

4）网格线，即沿坐标轴方向联结相邻两节点而形成的曲线族。

计算时，从边界条件处获得物理量的值，在相邻网格之间有着质量、动量和能量的传递。随着计算的推进，可得到全部网格上流速、压力和密度等物理量的值。离散化的原理如图1-2所示。

以网格上离散的值构建差分方程的方法称为差分格式，离散网格上的差分方程是连续空间上的微分方程的近似。使用不同的差分格式，计算的精度和稳定性都有变化。

(www.xing528.com)

图1-2 离散化的原理

理想的离散格式通常要求既具有稳定性，又具有较高精度，同时还能适应不同的流动形式。实际上，这种离散格式很难实现。表1-2列出了常用离散格式的性能对比。

表1-2 常用离散格式的性能对比

注：1.Pe数表征某点处的对流和扩散的强度比例。

2.假扩散现象是由于对流扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象。

在表1-1的基础上，可总结出以下规律：

1）在满足稳定性条件的前提下，一般截断误差阶数较高的格式具有较高的计算精度，如具有三阶截断误差的QUICK格式，通常可以获得较高的计算精度。选用低阶截断误差格式时，应将网格划分得足够密，以减小假扩散的影响。

2）稳定性与精确性常常互相矛盾。精确度较高的格式，如QUICK格式等，都不是无条件稳定，而假扩散现象相对严重的一阶迎风格式则是无条件稳定。其中的一个原因是，为了提高离散格式的截断误差等级，通常需要从所研究的节点两侧取用一些节点来构造该节点上的导数计算式，而当导数计算式中出现下游节点且其系数为正时，迁移特性遭到破坏，因此格式只能是条件稳定。

3）一阶和二阶差分格式均可应用于二维和三维问题。