衍射学中的布拉格方程及其应用

观察一下如图1―14（a）所示的两个波，波前为圆形，随着传播距离增加，波前变成近似垂直于传播方向的平面波。现在只考虑A方向的波，两个波在出发点位相相同，到达S处以后互相之间有ΔA的波程差，也就是第二个波多走了ΔA的距离。当ΔA=nλ（n=0，1，2，3，…）时，两个波的位相完全一致，所以在这个方向上两个波相互加强。即两个波的合成振幅等于两个波的原振幅的叠加。显然，上述波程差随方向不同而不同。比如在B方向上，如图1―14（b）所示，由于波程差ΔB=（n+1/2）λ（n=0，1，2，…），所以在远处第一个波的波峰和第二个波的波谷相重叠，合成波振幅为零。也就是在这个方向上由于两个波的位相不同而相互抵消。自然，在A和B的中间方向上可以得到如图1―14（c）所示的合成波，其振幅大小介于A方向和B方向合成波振幅的中间值。通过以上的讨论，我们可以得到下面的结论：两个波的波程不一样就会产生位相差；随着位相差变化，其合成振幅也变化。

图1―14　波的合成示意图

现在把上述原理应用到X射线衍射中去。图1―15为晶体的一个截面，原子排列在与纸面垂直并且相互平行的一组平面A，B，C…上。设晶体面间距为d′，X射线波长为λ，而且是完全平行的单色X射线，以入射角（incident angle）θ入射到晶面上（须注意，X射线学中入射角与反射角的含义与一般光学的有所不同）。如果在X射线前进方向上有一个原子，那么X射线必然被这个原子向四面八方散射。现在从这些散射波中挑选出与入射线成2θ角的那个方向上的散射波。首先观察波1和1a。它们分别被这个原子和P原子向四面八方散射。但是在1′和1a′方向上射线束散射波的位相相同，所以互相加强。这是因为波前（wave front）XX′和YY′之间的波程差QK―PR=PK cosθ―PK cosθ=0的缘故。同理，A晶面上的所有原子在1′方向上的散射线的位相都是相同的，所以互相加强。当波1和2分别被K和L原子散射时，1K1′和2L2′之间的波程差为

ML+NL=d′sinθ+d′sinθ=2d′sinθ

如果波程差2d′sinθ为波长的整数倍，即

当上式成立时，散射波1′、2′的位相完全相同，所以互相加强。上式就是布拉格定律（Bragg’s law），它是X射线衍射的最基本的定律。式中n为整数，称为反射级数（order of reflection）。反射级数的大小有一定限制，因为sinθ不能大于1。由于式（1―23），对一定的λ和d′，存在可以产生衍射的若干个角θ1，θ2，θ3，…分别对应于n=1，2，3，…。在n=1的情形下称为第一级反射，波1′和2′之间的波程差为波长的1倍；而1′和3′的波程差为波长的2倍，1′与4′的波程差为波长的3倍……以此类推，参见图1―15。至此，我们可以认为，凡是在满足式（1―23）的方向上的所有晶面上的所有原子散射波的位相完全相同，其振幅互相加强。这样，在与入射线成2θ角的方向上就会出现衍射线。而在其他方向上的散射线的振幅互相抵消，X射线的强度减弱或者等于零。我们把强度相互加强的波之间的作用称为相长干涉，而强度互相抵消的波之间的作用称为相消干涉。图1―16表示从各原子散射出来的球面波，在特定的方向上被加强的情形。可以看到，在0级、1级、2级方向上出现衍射束。由此可以更形象地理解X射线衍射的物理现象。

图1―15　晶体对X射线的衍射

图1―16　衍射现象示意图(www.xing528.com)

通过图1―15的说明我们发现X射线衍射现象和可见光的镜面反射现象相似。例如，无论在哪种情形中，入射束、反射面法线、反射束均处于同一平面上，而且入射角和反射角相等。所以，人们也习惯地把X射线的衍射称之为X射线的反射（reflection）。但是衍射和反射至少在下述三个方面有本质的区别。

（1）被晶体衍射的X射线是由入射线在晶体中所经过路程上的所有原子散射波干涉的结果，而可见光的反射是在极表层上产生的，也就是说光反射仅发生在两种介质的界面上。

（2）单色X射线的衍射只在满足布拉格定律的若干个特殊角度上产生（选择衍射），而可见光的反射可以在任意角度产生。

（3）可见光在良好的镜面上反射，其效率可以接近100%，而X射线衍射线的强度比起入射线强度却微乎其微。

还需注意的是X射线的反射角不同于可见光反射角，X射线的入射线与反射线的夹角永远是2θ。

综上所述，本质上说，X射线的衍射是由大量原子参与的一种散射现象。原子在晶面上是呈周期排列的，被它们散射的X射线之间必然存在位相关系，因而在大部分方向上产生相消干涉，只有在仅有的几个方向上产生相长干涉，这种相长干涉的结果形成了衍射束。这样，产生衍射现象的必要条件是有一个可以干涉的波（X射线）和有一组周期排列的散射中心（晶体中的原子）。