晶体几何学基础知识解析

我们所涉及的X射线衍射问题是在晶体上发生的，因此，有必要对晶体结构作一简要介绍，对晶体结构的详细讨论可参考有关金属学或金属物理等书籍。

原子或原子团在三维空间周期排列所构成的固体为晶体。晶体与液体和气体有本质上的差别，液体与气体并不要求原子或分子呈周期排列。但也不是所有的固体都是晶体。

1.空间点阵

考虑晶体的几何特点时，可以不考虑构成晶体的原子、原子团本身，而用几何点代替原子或原子团。这种几何点称为结点（lattice point）。结点的空间排布与晶体中原子（原子团）的排布完全相同，将相邻结点按一定的规则用线连接起来便构成了与晶体中原子（原子团）的排布完全相同的骨架，这便是空间点阵（space 1attice）。要注意所有的结点的几何环境与物理环境是相同的，也就是说结点应当是等同环境的点。图1―5为空间点阵示意图。整个空间点阵可以由一个最简单的六面体（用粗线表示）在三维方向上，重复排列而得，这个“最简单”的六面体称为单位点阵（unit lattice）或单胞（unit cell）。单胞的形状和大小的表示方法如图1―6所示。在单胞上任意指定一个结点为原点，由原点引出3个向量a，b，c。我们将这3个向量称为晶轴（crystal lographic axis），这3个向量即可以唯一确定单胞的大小和形状。单胞的大小和形状也可以用晶轴的长度a，b，c以及相应夹角α，β，γ来表示。这时把a，b，c以及α，β，γ叫作点阵参数或晶格常数（lattice constant，lattice parameter）。要注意的是，向量a，b，c不仅可以表示单胞，通过向量的平移还可以表示出全部的点阵。也就是说，从原点出发，分别反复移动向量a，b，c描绘出所有的结点，空间点阵中的任意结点坐标可由Pa，Qb，Rc表示，P，Q，R为整数。

图1―5　空间点阵示意图（空间点阵可由单胞重复排列而得）

图1―6　单胞的表示方法

2.晶系

观察图1―5就会发现，所有的结点实际上是三组平面的交点。这三组平面的排布方向不同，会构成不同的点阵。例如三组平面相互垂直，各组的平面间距又相等，所得到的单胞为立方体，此时a=b=c，α=β=γ=90°。显然，改变各组平面的间距和取向，就是改变点阵常数a，b，c以及α，β，γ。容易发现，我们所能得到的空间点阵的形状只有7种，把这7种空间点阵称为7种晶系，如表1―2所示。这7种晶系的特点是，所有的结点均位于单胞的角上。

表1―2　7个晶系及其所属的布拉菲点阵

续表

但是，实际的晶体是较复杂的，考虑到凡是具有等同环境的点都可以称为结点，那么可以存在的点阵的种类就要增加。1848年法国的晶体学家布拉菲（Bravais）证实了7种晶系中总共可以有14种点阵，这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵，参看表1―2和图1―7。布拉菲将晶胞分为简单晶胞和复杂晶胞，简单晶胞中只有一个结点，而复杂晶胞中有两个以上的结点。如果结点位于单胞内部，那么它完全属于该单胞；如果位于单胞的面上，那么它同时属于两个单胞；如果位于单胞角上，则属于8个单胞。属于一个单胞的结点数N可由下式计算，即

式中，Ni，Nf，Nc分别为单胞内、单胞面上、单胞角上的结点数。表1―2给出了各个布拉菲点阵的单胞结点数目。习惯上用一定的文字表示布拉菲点阵，表1―2还给出了表述文字。由表1―2所列的布拉菲点阵类型可以发现似乎不完全，如没有底心正方。事实上底心正方点阵可以变成简单正方点阵。这说明，布拉菲点阵中还包括了为了方便而取舍的点阵。

图1―7　14种布拉菲点阵

从形式上看，任意连接8个结点均可构成一个单胞，但是规定单胞的选择原则是两多一小：等长度的轴要多，90°的晶轴角要多，晶胞体积要小。这样对于同一类点阵的单胞形状和大小便是唯一确定的了。

3.常见的晶体结构

空间点阵和晶体结构是相互关联的，但又是两种不同的概念。空间点阵是从晶体结构中抽象出来的几何图形，它反映晶体结构最基本的几何特征。空间点阵不可能脱离具体的晶体结构而单独存在。但是，空间点阵并不是晶体结构的简单描绘，它的结点虽然与晶体结构中的任一类等同点相当，但只有几何意义，并非具体质点。自然界中晶体结构的种类繁多，而且是很复杂的。而从实际晶体结构中抽象出来的空间点阵却只有14种。这是因为空间点阵中的每个结点可以由一个、两个或更多个质点组成，而这些质点的结合及排列又可以采取各种不同的形式。因此，每一种布拉菲点阵都可以代表许多种晶体结构。例如，图1―8（a）（b）（c）三种不同的晶体结构，同属于一种布拉菲点阵，如图1―8（d）所示。

图1―8　晶体结构与空间点阵的关系

单质金属元素的晶体结构是最简单的结构形态，原子排列方式都与刚性球的紧密堆积的模型相似。将原子安放在布拉菲点阵的结点上即形成晶体结构（密排六方晶体例外）。常见的金属晶体结构有面心立方（fcc）、密排六方（hcp）、体心立方（bcc）等。属于fcc的主要有银、铝、金、铂、铜、镍、铅、γ铁等；属于hcp的有镉、镁、锌、α铍、α钛、α钴、α锆、铼等；属于bcc的有铬、钾、钠、钨、钼、钽、铌、钒、α铁、β钛等。单质金属还有菱方结构（铋、锑、汞）、正方结构（铟、β锡）、斜方结构（镓、α铀）等。

4.晶面与晶向

参照图1―5，由于对称和周期排列的原因，在空间点阵中可以画出相互平行且间距相等的一组平面，使所有结点均位于这组平面上，各平面上的结点分布情况也完全相同。但是，平面选取的方向不同，平面上的结点排布会有不同的特征。所以说，结点平面之间的差别主要取决于它们的取向，而强调同一组结点平面中某个平面的具体位置是没有实际意义的。

同样道理，在空间点阵中的任意方向上都可以连接两个以上的结点，构成许多互相平行的结点直线，在这些直线上的结点排列规律相同。不同方向上结点直线上的结点排列会有不同的规律。可见，结点直线的差别也是取决于它们的取向。

空间点阵中的结点平面和结点直线相当于晶体结构中的晶面和晶向，在晶体学中分别用晶面指数和晶向指数或称密勒（Miller.W.H.，英国晶体学家）指数来表示它们的方向。晶面指数的确定方法如下：

（1）在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距并以点阵周期a，b，c为单位来度量；

（2）写出三个截距的倒数；

（3）将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们化为三个简单整数h，k，l，再用圆括号括起，即为该组晶面的晶面指数，记为（hkl）。

显然，h、k、l为互质整数。在图1―9中绘出了立方系的几个主要晶面，并标出了它们的晶面指数。请注意负数时的表示方法。

图1―9　立方系中几个主要晶面及其晶面指数

晶向指数的确定方法如下：

（1）在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点的结点直线；

（2）在该直线上选距原点最近的结点，量出它的结点坐标；

（3）将三个坐标值用方括号括起，即为该族结点直线的晶向指数。

图1―10　立方系中几个晶向指数

和

图1―11（b）中标出了六方晶系某些晶面和晶向的指数。

图1―11　六方晶系的晶面及晶向指数(www.xing528.com)

5.晶带、晶面间距和晶面夹角

（1）晶带

在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有晶面均属于同一个晶带，这些晶面叫作晶带面（plane of a zone）。晶带面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条平行直线称为晶带轴（zone axis）。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。

因为对同晶带晶面的唯一要求就是它们的交线平行于晶带轴，所以在同一晶带中包括有各种不同晶面族的晶面。例如，在图1―12中［001］晶带中所包括的晶面有（100）（010）（110）（120）等。

图1―12　属于［001］晶带的某些晶面

根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂直。所以通过矢量的概念可以导出，凡是属于［uυw］晶带的晶面，它的晶面指数（hkl）都必须符合

通常把这个关系式称为晶带定律。

当已知某晶带中任意两个晶面的晶面指数（h1k1l1）和（h2k2l2）时，便可以通过式（1―14）计算出晶带轴的指数，其方法如下。

利用式（1―14），对两个已知晶面的晶面指数分别写出

h1u1+k1υ1+l1w1=0

h2u2+k2υ2+l2w2=0

将这两个方程式联立求解可得

或者写成

同理，如果某个晶面（hkl）同时属于两个指数已知的晶带［u1υ1w1］和［u2υ2w2］时，则可以根据式（1―14）求出该晶面的晶面指数。其计算公式为

在其他晶体学问题中，可以利用式（1―15）计算晶面指数已知的两个晶面交线的晶向指数，利用式（1―16）计算指数已知的两条相交直线所确定的晶面的晶面指数。

（2）晶面间距的计算公式

晶面间距是两个相邻的平行晶面间的垂直距离。通常用dhkl或简写为d来表示。

点阵中所有的晶面都有自己的面间距，面间距越大的晶面其指数就越低，结点的密度也越大。图1―13绘出了在二维情况下的晶面指数与面间距的定性关系，在三维情况下也完全相同。

图1―13　晶面指数与晶面间距和晶面上结点密度的关系

以下给出金属中常见晶系的有关晶面间距公式，其中a，b，c为晶格常数。

立方晶系的面间距公式为

正方晶系的面间距公式为

六方晶系的面间距公式为

（3）晶面夹角的计算公式

晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。

立方晶系的晶面夹角公式为

正方晶系的晶面夹角公式为

六方晶系的晶面夹角公式为

上面的公式也可以用来计算晶向夹角以及晶向与晶面间的夹角。在计算晶向夹角时，只要把公式中的晶面指数换成晶向指数就可以了。