非线性系统稳定性分析

对于图8.3.1所示系统，N（X）表示系统中非线性元件的描述函数，G（jω）表示系统中线性部分的频率特性。如果线性元件有低通滤波特性，并能充分滤除非线性元件输出中二次及二次以上的各次谐波，则用描述函数研究系统的运动特性是足够准确的。

描述函数是非线性元件的等效频率特性。当非线性元件的输入正弦波幅值一定时，描述函数可以作为一个实数或复数增益来处理。在这种情况下，可用线性系统中的奈奎斯特稳定性判据分析系统的稳定性。

对于图8.3.1所示的非线性系统，在非线性元件线性化后系统的开环频率特性为

当Gl（jω）通过（-1，j0）点时，如图8.3.2所示，闭环系统将产生等幅振荡，即

或

图8.3.2　开环系统的奈氏图(www.xing528.com)

式中，-为非线性元件的负倒描述函数。若在系统中无非线性元件，则N（X）=1，这时式（8.3.1）变为

根据奈氏判据可知，（-1，j0）点是判别系统稳定性的临界点，比较式（8.3.1）和式（8.3.2）可以看出，当系统引入非线性元件时，判别稳定性由（-1，j0）点变成-1/N（X）曲线。因此，当线性部分无右半s平面极点时，可以根据G（jω）与-1/N（X）的相对位置判断有关非线性系统的稳定性。稳定性结论如下：

（1）当G（jω）曲线不包围-1/N（X）曲线时，系统是稳定的，如图8.3.3（a）所示。

（2）当G（jω）曲线包围-1/N（X）曲线时，系统是不稳定的，如图8.3.3（b）所示。

（3）当G（jω）曲线与-1/N（X）曲线相交时，系统处于临界稳定状态，如图8.3.3（c）所示，系统可能产生自激振荡。

图8.3.3　G（jω）曲线与-1/N（X）曲线的相对位置示意图

（a）G（jω）不包围-1/N（X）；（b）G（jω）包围-1/N（X）；（c）G（jω）与-1/N（X）相交

自激振荡是一种周期运动，可能稳定或不稳定，严格来说这种周期运动不是正弦的，但稳定的自激振荡可以用一个正弦的周期运动来近似。周期运动的频率和幅值可用交点处G（jω）曲线上对应的ω和-1/N（X）对应的X来表征。