描述函数计算举例：优化你的云函数性能

非线性特性描述函数的计算步骤如下：

（1）画出非线性元件在正弦输入x（t）=X sinωt情况下的输出y（t）的波形；

（2）写出y（t）的数学表达式；

（3）按式（8.2.2）计算y（t）的一次谐波系数A1和B1；

（4）按式（8.2.5）计算非线性元件的描述函数。

【例8.2.1】若非线性元件具有图8.2.3（a）所示的饱和放大器特性，试求其描述函数。

【解】（1）饱和放大器的输入x（t）和输出y（t）波形分别示于图8.2.3（b）、（c）。

（2）求y（t）的数学表达式。

y（t）在1/4周期的表达为

式中

图8.2.3　饱和特性和正弦响应曲线

（a）饱和特性；（b）饱和放大器的输入信号x（t）；（c）饱和放大器的输出y（t）

（3）求A1和B1。

由于y（t）为奇函数，即y（t）=-y（-t），所以有

由于y（t）为奇函数，且又满足半周期内对称，即

故在计算B1时，积分限可以取0至π/2，再把积分值乘以4，即

（4）求N（X）。

根据描述函数定义并考虑图8.2.3（a）的特性，则有

由式（8.2.6）可见，饱和放大器的描述函数是实数，即其输出的一次谐波与输入正弦波同相位，当X/a≤1时，即X≤a时，元件工作在线性段，N（X/a）=K；当X/a＞1时，即X＞a时，元件进入饱和区，N（X/a）随X/a增大而减小；当X/a→∞时，N（X/a）=0。

【例8.2.2】若非线性元件的特性如图8.2.4（a）所示，是含有死区的继电特性，试求其描述函数。

图8.2.4　死区继电特性和正弦响应曲线

（a）死区继电特性；（b）输入信号x（t）；（c）输出信号y（t）

【解】（1）有死区的继电特性的输入x（t）与输出y（t）的波形图示于图8.2.4（b）、（c）。

（2）求y（t）的表达式。

y（t）在1/4周期内的表达式为

式中

（3）求A1和B1。(www.xing528.com)

由于y（t）为奇函数，则有

并同时满足半周期内对称，即

所以在计算B1时，积分限可取0至π/2，再把积分值乘以4，即

（4）求N（X）。

根据描述函数定义并考虑图8.2.4（a）有

死区继电特性的描述函数为实数，即元件输出的一次谐波与输入正弦波同相位。描述函数在X/a≤1（即X≤a）时，等于0；在X/a＞1，即X＞a时，随X/a先增大后减小；在X/a=时出现极大值，其极大值为2/π。

【例8.2.3】若非线性元件具有图8.2.5（a）所示的滞环特性，试求其描述函数。

【解】（1）画出滞环特性的输入x（t）和输出y（t）的波形图，分别示于图8.2.5（b）、（c）。

图8.2.5　滞环特性和正弦响应曲线

（a）滞环特性；（b）输入信号x（t）；（c）输出信号y（t）

（2）求y（t）表达式。

y（t）在半周期内的表达式为

式中

（3）求A1和B1。

由于y（t）既不是奇函数，也不是偶函数，故A1和B1均不为零。由于y（t）满足

故求A1和B1的积分可计算半个周期乘以2而得到，即

（4）求描述函数。

根据描述函数定义，并考虑图8.2.5（a）后，得滞环特性的描述函数为

滞环特性的描述函数为复数，即非线性元件的输出的一次谐波与输入的正弦波相比，除振幅上有变化之外，还有相位差。

为使用方便，表8.2.1示出了常见非线性特性的描述函数。

表8.2.1　常见非线性特性的描述函数

续表

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描述函数计算完后，即建立了非线性系统的频域数学模型，下面重点对系统的稳定性进行分析。