了解函数的基本概念及描述方法

描述函数法是达尼尔（P.J.Daniel）于1940年首先提出的，其基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。这时非线性系统就可以近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析，但是当输入为非正弦信号时，这种描述就不成立了。因此，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。描述函数主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自激振荡问题，不受系统阶次的限制，因而获得了广泛的应用。但是由于描述函数对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，而且其本身也是一种近似的分析方法，因而该方法的应用有一定的限制条件。

1.描述函数的定义

描述函数法是线性系统的频率响应法在非线性系统中的推广。在线性系统中，若在元件或系统的输入端加入一个正弦信号，在达到稳态时，其输出为与输入信号同频率的正弦函数，但是对于非线性元件或系统，当输入信号为正弦函数时，其稳态输出由于有高次谐波的存在而失真，成为一个周期函数。在下述情况下可以应用描述函数法：如果非线性元件输出的周期函数信号加到另一个线性元件的输入端，当线性元件有滤除非线性元件输出y（t）中二次及二次以上谐波的低通滤波特性时，那么线性元件的输出为与非线性元件输入同频率的正弦函数，如图8.2.1所示。这样，对于线性元件的输出，我们有理由只考虑非线性元件输出中的一次谐波。因此，可以把非线性元件输出的一次谐波与其输入的正弦函数振幅比为模、相位差为辐角构成一个复数，用这个复数作为非线性元件的等效频率特性，称为非线性元件的描述函数。

图8.2.1　非线性系统的输入与输出信号对比

若非线性元件的输入为

非线性元件的输出为y（t），则y（t）的傅里叶级数展开式为

式中

若A0=0，且n＞1时，Yn=很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波，其一次谐波为：

式中

若以N（X）表示非线性元件的描述函数，依定义则有

或

(www.xing528.com)

实际大多数非线性环节中不包含储能元件，其输出与输入信号的频率无关，所以常见非线性环节的描述函数仅是输入信号幅值的函数，即描述函数只是输入正弦信号幅值的函数。

2.应用描述函数法的限制条件

（1）非线性系统的结构图可以简化成一个非线性环节和一个线性环节闭环连接的典型形式，如图8.2.2所示。

图8.2.2　非线性系统典型结构形式

（2）非线性环节的特性f（x）应是x的奇函数，即f（x）=-f（-x），或正弦输入下的输出为关于t的奇对称函数，即=-y（t），以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含常值分量，也就是A0=0。证明如下：

若非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数，即

则

取变换ωt=ωu+π，有

而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f（x）=-f（-x），有

即y（t）是关于t的奇对称函数，直流分量A0为零。

（3）系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。当非线性环节的输入为正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，但经线性部分传递之后，由于低通滤波的作用，高次谐波分量将被大大削弱，因此闭环系统内近似地只有一次谐波分量流通，从而保证应用描述函数分析方法所得的结果比较准确。工程上许多非线性系统，通常是满足此条件的。

描述函数法是一种工程近似方法，结果的准确度在很大程度上取决于高次谐波分量被衰减的程度，即取决于非线性环节在正弦信号作用下系统输出中高次谐波分量所占的比重，以及系统中线性环节的低通滤波性能。当非线性系统满足上述三个条件时，描述函数法便是一种简便而有效的工程分析方法。

值得注意的是，线性系统的频率特性是输入正弦信号频率ω的函数，与正弦信号的幅值X无关，而由描述函数表示的非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值X的函数，因而描述函数又表现为关于输入正弦信号的幅值X的复变增益放大器，这正是非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。当非线性环节的频率特性由描述函数近似表示后，就可以推广应用线性系统的频率法来分析非线性系统的运动特性，问题的关键是描述函数的计算。