离散系统稳态误差分析

稳态误差是离散系统分析和设计的一个重要指标，用离散系统理论分析的稳态误差仍然是指采样时刻的值。由于离散控制系统的脉冲传递函数与采样开关的配置有关，没有统一的公式可用，故通常采用终值定理计算稳态误差。只要系统的特征根全部位于z平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用z变换的终值定理求出采样时刻的稳态误差。

设单位反馈离散控制系统的结构图如图7.5.5所示。G（s）是系统连续部分的传递函数，e（t）为连续误差信号，e*（t）为采样误差信号。

系统的误差脉冲传递函数为

图7.5.5　单位反馈离散系统

由此可得误差信号的z变换为

假定系统是稳定的，即Φe（z）的全部极点均在z平面的单位圆内，则可用终值定理求出稳态时采样时刻处的稳态误差为

下面分别讨论3种典型输入信号作用下系统的稳态误差。

1.单位阶跃输入信号作用下的稳态误差

由r（t）=1（t），可得

将此式代入式（7.5.6），得稳态误差为

与连续系统类似，定义

为静态位置误差系数，则稳态误差为

从Kp定义式中可以看出，当G（z）中有一个以上z=1的极点时，Kp=∞，则稳态误差为零。也就是说，系统在阶跃输入信号作用下，系统无差的条件是G（z）中至少要有一个z=1的极点。

2.单位斜坡输入信号作用下的稳态误差

由r（t）=t，可得

将此式代入式（7.5.6），得稳态误差为

定义

为静态速度误差系数，则稳态误差为

从Kv定义式中可以看出，当G（z）中有两个以上z=1的极点时，Kv=∞，则稳态误差为零。也就是说，系统在斜坡输入信号作用下，系统无差的条件是G（z）中至少要有两个z=1的极点。

3.单位抛物线输入信号作用下的稳态误差

由r（t）=，可得

将此式代入式（7.5.6），得稳态误差为

(www.xing528.com)

定义

为静态加速度误差系数，则稳态误差为

从Ka定义式中可以看出，当G（z）中有3个以上z=1的极点时，Ka=∞，则稳态误差为零。也就是说，系统在抛物线函数输入信号作用下，无差的条件是G（z）中至少要有3个z=1的极点。

从前面的分析中可以看出，离散系统采样时刻处的稳态误差与输入信号的形式、开环脉冲传递函数G（z）中z=1的极点数目以及采样周期T有关。G（z）中z=1的极点数就是系统的类型ν，对于G（z）中z=1的极点数为0、1、2、…、ν的离散系统，分别称为0、Ⅰ、Ⅱ、…、ν型系统。

总结前面讨论的结果，列成表7.5.1。从表中可以看出，高散系统的稳态误差除了与采样周期T有关外，其他规律与连续系统相同。

表7.5.1　采样时刻处的稳态误差

【例7.5.4】离散系统的方框图如图7.5.6所示，其中K=1。设采样周期T=0.1 s，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位加速度函数输入信号作用下的稳态误差。

图7.5.6　例7.5.4的系统框图

【解】系统的开环传递函数为

系统的开环脉冲传递函数为

为应用终值定理，必须判别系统是否稳定，否则求稳态误差没有意义。

系统闭环特征方程为

即

求得特征根z1=0.885，z2=0.445，所以系统是稳定的。

静态位置误差系数为

静态速度误差系数为

静态加速度误差系数为

不同输入信号作用下的稳态误差为：

单位阶跃输入信号作用下

单位斜坡输入信号作用下

单位加速度输入信号作用下