线性常系数差分方程的解法

微分方程是描述连续系统动态过程的最基本的数学模型。但对于采样系统，由于系统中的信号已离散化，因此，描述连续函数的微分等概念就不适用了，而需要用建立在差分等概念基础上的差分方程来描述采样系统的动态过程。

对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出c（k），不但与k时刻的输入r（k）有关，而且与k时刻以前的输入r（k-1）、r（k-2）、…有关，同时还与k时刻以前的输出c（k-1）、c（k-2）、…有关，这种关系一般可以用下列n阶后向差分方程来描述：

上式亦可表示为

上式亦可表示为

式中，ai（i=1，2，…，n）和bj（j=0，1，…，m）为常系数，m≤n。式（7.4.1）称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。

线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述：

式中，ai（i=1，2，…，n）和bj（j=0，1，…，m）为常系数，m≤n。式（7.4.1）称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。

线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述：

上式也可写为

上式也可写为

常系数差分方程的求解方法有经典法、迭代法和z变换法。与微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法也要求出齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的后两种解法。

1.迭代法求解差分方程

迭代法也称为数值递推法，非常适于用计算机求解。

【例7.4.1】已知差分方程c（k）=r（k）+5c（k-1）-6c（k-2），输入序列r（k）=1，初始条件为c（0）=0，c（1）=1，试用迭代法求输出序列c（k）（k=0，1，2，3，4）。

【解】根据初始条件及递推关系，得

常系数差分方程的求解方法有经典法、迭代法和z变换法。与微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法也要求出齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的后两种解法。

1.迭代法求解差分方程

迭代法也称为数值递推法，非常适于用计算机求解。(www.xing528.com)

【例7.4.1】已知差分方程c（k）=r（k）+5c（k-1）-6c（k-2），输入序列r（k）=1，初始条件为c（0）=0，c（1）=1，试用迭代法求输出序列c（k）（k=0，1，2，3，4）。

【解】根据初始条件及递推关系，得

2.用z变换法解差分方程

具体步骤是，首先对差分方程进行z变换，然后解出方程中输出量的z变换C（z），最后求C（z）的z反变换，得差分方程的解c（k）。【例7.4.2】试用z变换法解下列差分方程

2.用z变换法解差分方程

具体步骤是，首先对差分方程进行z变换，然后解出方程中输出量的z变换C（z），最后求C（z）的z反变换，得差分方程的解c（k）。【例7.4.2】试用z变换法解下列差分方程

已知初始条件为c（0）=0，c（1）=1，求c（k）。

【解】对方程两边取z变换，并应用实数位移定理，得

已知初始条件为c（0）=0，c（1）=1，求c（k）。

【解】对方程两边取z变换，并应用实数位移定理，得

代入初始条件，整理后得

代入初始条件，整理后得

查变换表，进行反变换得

查变换表，进行反变换得

差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响，因此需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型——脉冲传递函数。

差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响，因此需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型——脉冲传递函数。