使用ITAE准则确定传递函数标准

系统综合性能指标的定量描述方式有很多种，例如误差平方的积分（ISE）、误差绝对值的积分（IAE）、时间与误差绝对值乘积的积分（ITAE）、时间与误差的平方的乘积作积分（ITSE）等。下面我们仅给出以ITAE为性能指标的标准闭环传递函数。

基于ITAE准则的综合性能指标函数为

其中误差e（t）是系统的实际输出与希望输出之间的误差。当J达到极小值时，就称系统是ITAE最优系统。ITAE准则能够降低初始误差对综合性能指标的影响，加大系统响应末段误差的权重，有很大的实用价值。

ITAE指标的积分区间是从零到无穷大。对于零型系统，由于（t）≠0，ITAE指标函数J将趋于无穷大，因此不能用它作为零型系统的综合性能指标。下面将只讨论使用较多的Ⅰ型和Ⅱ型系统。

设闭环传递函数为

不难证明，对于Ⅰ型系统有

对于Ⅱ型系统有

可以看出，阶跃输入下产生零稳态误差的闭环传递函数Φ（s）有许多可能的形式。当分子仅由b0组成，且满足式（6.7.3）时，称为阶跃零误差系统。当分子仅由b1s+b0组成，且满足式（6.7.4）时，称为斜坡零误差系统。

对于阶跃零误差系统和斜坡零误差系统，使ITAE性能指标最小的标准传递函数列于表6.7.1和表6.7.2中。注意，表6.7.1中调节时间ts对应的误差带为Δ=5%。表6.7.1中标准传递函数对应的单位阶跃响应曲线如图6.7.1所示，其中时间尺度为规范化时间ωnt。由图可见，系统具有较好的阶跃响应。表6.7.2中标准传递函数对应的斜坡响应如图6.7.2所示。

表6.7.1　输入为阶跃信号时基于ITAE指标确定的闭环系统标准传递函数及其性能

表6.7.2　输入为斜坡信号时基于ITAE指标确定的系统标准传递函数

图6.7.1　表6.7.1中标准传递函数的单位阶跃响应曲线

【例6.7.1】如图6.7.3所示的温度控制系统，其被控对象为

试设计控制器Gc（s）、Gp（s），使系统的阶跃响应具有最佳的ITAE指标，且调节时间不大于0.36 s（Δ=5%）。

图6.7.2　表6.7.2中标准传递函数的单位斜坡响应曲线(www.xing528.com)

图6.7.3　温度反馈控制系统

当Gp（s）=1、Gc（s）=1时，系统对阶跃输入信号的稳态跟踪误差高达50%，为了使系统的阶跃响应具有最佳的ITAE性能，且调节时间不大于0.36 s（Δ=5%），考虑采用PID控制器来校正系统。

我们把PID控制器传递函数写成如下形式：

其中

当Gp（s）=1时，已校正系统的闭环传递函数为

当采用ITAE指标时，由表6.7.1可知最优特征多项式应该为

为了满足对调节时间的设计要求，需要选取ωn。因为三阶标准系统的规范化调节时间ωnts=3.6，所以若要求调节时间不大于0.36 s，则需要ωn≥10，取ωn=10。将ωn=10代入最优特征多项式，并让Φ1（s）的分母与之相等，比较系数后可以得到Kp=214、Kd=15.5、Ki=1 000，则

该系统的阶跃响应的超调量高达34%，调节时间为0.57 s（Δ=5%），稳态误差为零。阶跃响应的超调量大的原因是因为系统存在闭环零点。

接着，选择前置滤波器Gp（s），以消除Φ1（s）中的零点，使系统具有预期的最优ITAE指标，即使系统的闭环传递函数变为

由此可以得到

经过完全校正后的系统的阶跃响应如图6.7.4（a）中的实线所示，超调量很小，调节时间为ts=0.3 s（Δ=5%），稳态误差为零。另外，由单位阶跃干扰引起的最大输出也仅仅为0.003，表明本例设计的PID控制器是非常令人满意的。

注意：ωn的可选值受到控制器输出u（t）的最大容许值的限制。ωn=6时的闭环单位阶跃响应如图6.7.4（a）中的虚线所示，控制量u（t）的曲线如图6.7.4（b）中的虚线所示。由图可见，ωn=6时，控制量明显减少，但是系统的调节时间ts=0.6 s（Δ=5%），系统动态响应变慢。

图6.7.4　温度反馈控制系统的单位阶跃响应曲线及对应的控制量曲线

（a）单位阶跃响应曲线；（b）控制量u（t）曲线

在本例中，若系统的性能指标要求是Δ=2%时的调节时间，则可以利用ts=4/（ζωn）求出ωn，其中令ζ≈0.7，因为由图6.7.1可见，标准传递函数阶跃响应的超调量都很小，所以，可认为系统的阻尼系数较大。若校正后系统的调节时间大于要求值，则适度增大ωn，重新进行控制器设计；反之，则适当减小ωn。