频域串联校正的基本概念详解

下面通过例6.2.1来说明频域串联校正的原理。

【例6.2.1】若单位反馈系统的开环传递函数为

要求系统满足在单位斜坡输入时的稳态误差ess≤0.05，单位阶跃响应的超调量σp%≤25%，试分析只调整系统开环增益K能否同时满足上述两个指标？

【解】（1）单位斜坡输入时稳态误差ess=1/K，根据要求有1/K≤0.05，即K≥20。

（2）要求σp%≤25%，按照二阶系统的频域性能指标与时域性能指标之间的关系，相应频域指标近似为相位裕度γ≥43°。

为寻求同时满足上述两指标的系统，在复数平面上画出不同K值时的幅相曲线示于图6.2.1（a）、（b），图中曲线①K=20，曲线②K=1。由图可以看出：当K=20时，曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定；当K=1时，相位裕度γ=46°，但不满足稳态精度的要求。因此，调节开环增益K不能同时满足上述两项指标。

为了解决问题，必须在系统中增加校正装置以改变系统结构。如果加入校正装置之后，开环系统幅相频率特性有图6.2.1曲线③的形状，则可同时满足所提出的两项指标。使系统幅相曲线具有曲线③的形状可通过两种方法实现：其一是以曲线①为基础，选择一种校正装置对其低频段没有影响，而使曲线的中频段的相位角前移，即在（-1，j0）点附近幅相曲线逆时针旋转一个角度，变成图6.2.1（a）的曲线③，这种方法称为超前校正；其二是以曲线①为基础，选择适当的校正装置，使曲线①的低频段幅值衰减，而相位角基本不动，即在这个频段的幅相频率特性矢量缩短，变成图6.2.1（b）的曲线③，这种校正装置在低频的某些频率之下有相位角滞后特性，因此这种方法称为滞后校正。曲线①的A点校正后为曲线③的B点。当然这两种方法获得的曲线③中每点的频率并不一样，曲线的形状也不完全一样。

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图6.2.1　系统频域校正示意图

（a）超前校正示意图；（b）滞后校正示意图

从上例可以看出，频域法校正的实质是用校正装置改变系统开环频率特性的形状，从而改善闭环系统的各项性能指标。例6.2.1是基于极坐标图（即奈氏图）进行的频域设计，即通过改变奈奎斯特图的形状来设计校正装置，从图6.2.1可以看出，当需要加校正装置时，极坐标图就不再保持其原来的形状，因此需要绘制新的极坐标图，这会花费时间，因而不方便。而校正装置的伯德图可以很容易地叠加到原来系统的伯德图上，从而绘出完整的系统伯德图，此外，如果改变开环增益，对数幅频曲线将上升或下降，但不改变曲线的斜率，相角曲线也保持不变，能给设计工作带来极大的方便，因此从设计的角度看，最好采用伯德图。

基于伯德图的频域设计方法简单且直截了当，而且当系统或元件的动态特性以频率响应数据的形式给出、而不是以传递函数模型给出时，也能在频域内直接对系统进行校正。某些元件，如气动和液压元件的数学动态方程，推导起来比较困难，所以这些元件的动态特性通常通过频率响应实验确定，当采用伯德图时，由实验得到的频率响应图可以很容易与其他环节的频率响应图叠加综合。另外，当系统有抑制高频噪声的需求时，基于伯德图的频域法比其他设计方法更简单直接。

在用频域法进行系统校正时，对系统的要求可用一组频域指标来表示。因此基于伯德图对系统进行频域校正时，常使用开环频域指标，它们是：

①开环增益K、积分环节个数ν或静态误差系数Kp、Kv、Ka；

②相位裕度γ、幅值裕度Kg（dB）；

③穿越频率ωc。

如果给定的是闭环频域指标Mr、ωb或时域指标σp%、tr、ts、ess及其他混合形式的指标，应将这些指标用第5章中的性能指标关系式近似地换算成开环频域指标。