闭环与开环系统频域指标的转换技巧

1.带宽ωb与穿越频率ωc的关系

系统开环指标穿越频率ωc与闭环指标带宽频率ωb有着密切的关系。如果两个系统的稳定程度相仿，则ωc大的系统，ωb也大；ωc小的系统，ωb也小。因此ωc和系统响应速度存在正比关系，ωc可用来衡量系统的响应速度。考虑这样的系统，其具有如下典型性质：

系统开环指标穿越频率ωc与闭环指标带宽频率ωb有着密切的关系。如果两个系统的稳定程度相仿，则ωc大的系统，ωb也大；ωc小的系统，ωb也小。因此ωc和系统响应速度存在正比关系，ωc可用来衡量系统的响应速度。考虑这样的系统，其具有如下典型性质：

其中ωc是穿越频率。闭环频率响应的幅值为：

其中ωc是穿越频率。闭环频率响应的幅值为：

当ω≪ωc时，M（ω）≈1；

当ω≪ωc时，M（ω）≈1；

当ω≫ωc时，M（ω）≈。

当ω≫ωc时，M（ω）≈。

在穿越频率ωc附近，=1，M（ω）的大小在很大程度上依赖于相位裕度。

当γ=90°时，则意味着开环系统的相位为-90°，即G（jω）=0-j1，则M（ωc）=0.707，即ωb=ωc；当γ=45°时，M（ωc）=1.31，因此当相位裕度γ较小时，系统的带宽频率明显会比ωc稍大一些，但通常小于2ωc，即ωc≤ωb≤2ωc。

对于典型二阶系统而言，当0.2≤ζ≤0.8时，ωb与ωc近似满足

在穿越频率ωc附近，=1，M（ω）的大小在很大程度上依赖于相位裕度。

当γ=90°时，则意味着开环系统的相位为-90°，即G（jω）=0-j1，则M（ωc）=0.707，即ωb=ωc；当γ=45°时，M（ωc）=1.31，因此当相位裕度γ较小时，系统的带宽频率明显会比ωc稍大一些，但通常小于2ωc，即ωc≤ωb≤2ωc。(www.xing528.com)

对于典型二阶系统而言，当0.2≤ζ≤0.8时，ωb与ωc近似满足

2.谐振峰值Mr与相位裕度γ的关系

鉴于闭环振荡性指标谐振峰值Mr和开环指标相位裕度γ都能表征系统的稳定程度，故可建立Mr和γ的近似关系。

设系统开环相频特性可以表示为

2.谐振峰值Mr与相位裕度γ的关系

鉴于闭环振荡性指标谐振峰值Mr和开环指标相位裕度γ都能表征系统的稳定程度，故可建立Mr和γ的近似关系。

设系统开环相频特性可以表示为

其中γ（ω）表示相位相对于-180°的相移。因此开环频率特性可以表示为

其中γ（ω）表示相位相对于-180°的相移。因此开环频率特性可以表示为

一般情况下，在M（ω）的极大值附近，γ（ωr）变化较小，且使M（ω）为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有cosγ（ωr）≈cosγ（ωc）≈cosγ。

一般情况下，在M（ω）的极大值附近，γ（ωr）变化较小，且使M（ω）为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有cosγ（ωr）≈cosγ（ωc）≈cosγ。

γ较小时，式（5.7.21）的近似程度较高。控制系统的设计中，一般先根据控制系统要求提出闭环频域指标ωb和Mr，再由式（5.7.21）确定相位裕度γ和选择合适的穿越频率ωc，然后根据γ和ωc选择校正网络的结构并确定参数。

γ较小时，式（5.7.21）的近似程度较高。控制系统的设计中，一般先根据控制系统要求提出闭环频域指标ωb和Mr，再由式（5.7.21）确定相位裕度γ和选择合适的穿越频率ωc，然后根据γ和ωc选择校正网络的结构并确定参数。