二阶闭环系统的频域与时域指标关系探究

1.谐振峰值与超调量的关系

由式（5.7.6）可以画出Mr与阻尼ζ的关系曲线，如图5.7.3所示，可见阻尼系数越小，Mr越大。因为阻尼系数与超调量σp%相关，所以可进一步画出σp%与Mr的关系曲线，如图5.7.4所示。σp%随Mr的变化规律有明显的物理意义：当闭环幅频特性有谐振峰值时，系统对信号有选择性，它使得信号频谱中在ω=ωr附近的分量通过系统后显著增强。因此，当Mr较大时，系统的单位阶跃响应表现出频率接近ωr（实际是）的强烈振荡。一般设计控制系统时，希望Mr＜1.5。

图5.7.3　Mr与ζ的关系曲线

图5.7.4　以ζ为参变量时σp%随Mr的变化曲线

从式（5.7.7）可以看出，ωr与自然振荡频率ωn不相等，但是当ζ比较小时，如ζ＜0.4，ωr≈ωn，我们可以认为在自然振荡频率处产生了谐振峰值。另外需要注意，当ζ＞0.707时，将不会有谐振峰值，但在0＜ζ＜1的区间内，系统都有超调量。

2.带宽与时域响应速度的关系

因为调节时间

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图5.7.5给出了被调节时间、峰值时间、上升时间规范化后的带宽ωbts、ωbtp、ωbtr与阻尼系数ζ的关系曲线。

图5.7.5　规范化带宽与阻尼系数ζ的关系

（a）ωbts与ζ的关系；（b）ωbtp与ζ的关系

图5.7.5　规范化带宽与阻尼系数ζ的关系（续）

（c）ωbtr与ζ的关系

在不改变阻尼系数条件下，增加带宽ωb会提高系统的响应速度，tr、tp、ts均会减小。这一结论的物理意义是，当增加带宽频率时，系统的惯性减小了，更容易使单位阶跃信号中的高频分量通过，因此系统的响应速度得以提高。

【例5.7.1】若要求闭环系统的超调量是20%，调节时间是2 s，求系统的带宽。

【解】由σp%=×100%，可以解出阻尼比ζ=0.456。

利用式（5.7.8），可以得到ωb=5.79 rad/s。