最小相位系统的稳定裕度优化方案

从理论上说，一个线性系统的结构和参数一旦确定，它是否稳定就确定了。但是实际情况并不如此简单。大多数情况下，系统的参数总难免有不确定性。也就是说，系统名义上的参数与它的实际参数之间可能有出入，有的情况下连系统的结构（框图）都可能与实际系统有某些出入。例如，人们以为系统中某个惯性单元的传递函数是5/（2s+1），事实上它可能是5.5/（1.7s+1），这样人们用稳定判据判断稳定性所得的结论就可能不正确，人们以为是稳定的系统实际可能不稳定。

不确定性的原因很多。例如测量的误差、公称值与实际值之间的偏差、温度变化引起的参数波动等。再如有的生产机械的参数经过长时间的运行可能发生相当大的变化；有的控制对象在不同的运行条件下（例如飞机在不同高度以不同速度飞行），其参数可以在很大范围内变化，甚至基本动态性质也会发生变化（惯性单元变为振荡单元）；还有些情况下，为了便于进行研究，人们有意地或不得已地忽略系统中某些次要的因素以求简化它的数学模型。

考虑到不确定性的存在，我们就不能满足于仅仅判明某一系统是否稳定，而往往要问：如果系统的参数或结构发生了某种程度的变化，这个我们原以为稳定的系统是否仍能保持稳定呢？我们自然不能对各参数可能发生变化的一切组合逐一判断系统是否稳定，而希望一个已经判明为稳定的系统本身就具有这样一种性质，即当参数（或结构）有某种程度的不确定性时系统仍能保持稳定，这样就提出了“稳定裕度”的概念。一个系统不但必须是稳定的，而且还应该有相当的稳定裕度，即具有一定的相对稳定性，才是工程上实际可用的。

一个系统的稳定裕度有多大，以及如何提高其稳定裕度的问题，常被称为系统的鲁棒性问题。在单输入单输出系统中，鲁棒性问题常常用系统的开环幅相频率特性曲线与复数平面上（-1，j0）点的接近程度表征。

图5.6.1是一个普通的最小相位系统的开环幅相曲线，3条曲线分别对应于3个不同的开环比例系数K。可以看出，当K较小时，曲线G（jω）H（jω）不包围复数平面上的点（-1，j0），闭环系统是稳定的；随着K的增大，曲线G（jω）H（jω）逐渐靠近复数平面上的点（-1，j0），系统濒临不稳定的边缘，由于工作条件变化或其他原因，使系统参数发生变化时，闭环系统就有可能由稳定变成临界稳定或不稳定状态；当K再继续增大，开环幅相曲线就包含点（-1，j0），系统失去稳定。因此，开环幅相曲线与复数平面上（-1，j0）点接近的程度，往往可以反映系统稳定的裕度。

工程上稳定裕度的定义包括两方面内容：幅值裕度和相位裕度，下面结合图5.6.2给出其定义。

图5.6.1　参数变化影响系统的稳定性

图5.6.2　幅值裕度和相位裕度

1.幅值裕度Kg

若在ω=ωg时，G（jω）H（jω）曲线与负实轴相交，定义

不难看出，Kg的物理意义是，如果系统的开环增益放大Kg倍，则系统处于临界稳定状态，即

ωg为系统的相位穿越频率。

2.相位裕度γ

若在ω=ωc时，=1，定义

式中，ωc为幅值穿越频率，它对应对数幅频曲线穿过0 dB线的频率。ωc有时也被称为截止频率。γ的物理意义是，当φ（ωc）再滞后γ角度时，系统处于临界稳定状态，从图5.6.2可直接看出这一点。ωc是系统的一个重要性能指标，而ωg不是，所以为简洁起见，后文简称ωc为“穿越频率”。

对于最小相位系统，相位裕度γ大于0，幅值裕度Kg大于1，系统稳定，γ和Kg越大，系统稳定程度越好。若γ小于0，Kg小于1，则系统不稳定。一般工程上取Kg（dB）=6～20 dB，γ=30°～60°。

幅值裕度和相位裕度也可以从对数频率特性曲线求得，如图5.6.3所示。依定义幅值裕度在对数幅频特性上的数值为

图5.6.3　基于伯德图的稳定裕度定义

相位裕度γ可直接从对数相频图上查出。

幅值裕度能直接指出系统的开环增益还允许增加多大而不致破坏稳定性。但幅值裕度和相位稳定裕度更重要的作用是，大致刻画对于一个参数（或结构）不确定的系统的稳定性判断的可靠程度。除指明系统在不确定情况下的性质外，稳定裕度还能提示系统在阶跃信号作用下的动态特性。当系统的稳定裕度过小时，阶跃响应往往剧烈，振荡倾向较严重。反之，稳定裕度过大，其动态响应又往往迟钝缓慢。因此正确设计系统的稳定裕度可以使控制系统具有适当的动态性能，同时避免系统中某些元部件参数不确定性的有害影响。(www.xing528.com)

【例5.6.1】若系统开环传递函数为

试求Kg（d B）和γ。

【解】开环系统对数频率特性示于图5.6.4，由图5.6.4可查出Kg（dB）=12 dB，γ=70°。

图5.6.4　例5.6.1系统的对数频率特性

（a）幅频图；（b）相频图

对于图5.6.5而言，开环系统幅相曲线不包围（-1，j0）点，在P=0时，闭环系统是稳定的。但是当开环增益K增大或减小时，都可能使G（jω）H（jω）曲线包围（-1，j0）点，系统变得不稳定，这种系统称为条件稳定系统。条件稳定系统的幅值裕度需要两个数值Kg1和Kg2来表示，Kg1和Kg2的定义见图5.6.5，此时Kg1＞1，Kg2＜1。其物理意义是当开环增益放大Kg1倍或Kg2倍时，闭环系统均变成临界稳定状态，条件稳定的相位裕度仍按式（5.6.2）定义。

图5.6.5　条件稳定系统的幅值裕度

然而，在有些情况下，相位裕度和幅值裕度对判断系统稳定性也会无能为力。对于高阶系统，可能存在多个频率点满足=1或∠G（jω）H（jω）=-180°的情况，这时相位裕度和幅值裕度需要做更进一步的确定，一般而言，以其中最小的相位裕度来评价系统的稳定性。

另外，一个控制系统通常有许多参数，它的运动规律很复杂，有许多自由度。仅用两个稳定裕度的数据当然不可能充分描述其特征。所以稳定裕度只是工程上便于使用的一种经验性指标，只能在设计系统和估算系统性能时谨慎地用作参考，不可误以为是严格的理论依据。特别应当强调，为了比较确切地描述系统的“稳定程度”，最好将幅值裕度与相位裕度联合使用。如果只用二者之一，则对于图5.6.6那样濒于稳定性边缘的开环频率特性（相位裕度很大，但幅值裕度很小）就容易发生误判。

图5.6.6　相位裕度虽大但实际濒于稳定性边缘

对于最小相位系统，开环传递函数的幅值和相位特性有一定的关系。要求相位裕度在30°到60°之间，即在伯德图中，对数幅频曲线在穿越频率处的斜率应该大于-40 dB/dec。为什么呢？这可以由伯德提出的幅相定理进行证明，简述如下：

对于任意的稳定的最小相位系统（在右半s平面不存在零点或者极点的系统），开环传递函数G（jω）H（jω）的相位和幅值存在唯一的对应关系，这个幅相关系有一个严格的数学描述，限于篇幅，这里只给出一个近似的简单表达式。当对数幅频曲线20lg G（jω）H（jω）的斜率在频率ω的10倍频程内保持不变时，相位与幅值的关系表达式就变得比较简单，可由下式近似给出

其中，n是G（jω）H（jω）对数幅频的斜率关于20dB/dec的倍数。在交接频率处，式（5.6.4）的近似效果会变差。

当=1时，即在穿越频率处有

若n=-1，则∠G（jω）H（jω）≈-90°

若n=-2，则∠G（jω）H（jω）≈-180°

为了使系统稳定，我们希望∠G（jω）H（jω）＞-180°，因此要求在穿越频率处，对数幅频的斜率应该大于-40dB/dec。

在大多数实际情况中，为了保证系统稳定，要求穿越频率处的斜率为-20 dB/dec。如果在穿越频率处的斜率是-40 dB/dec，则系统可能是稳定的，也可能是不稳定的，即使系统是稳定的，相位裕度也比较小。如果在穿越频率处的斜率是-60 dB/dec，则系统很可能是不稳定的。

3.矢量裕度（Vector Margin）

矢量裕度（Vector Margin）是将相位裕度和幅值裕度合二为一的一个稳定性度量变量，也称作复合裕度，它避免了单独使用相位裕度或者幅值裕度判断系统稳定程度时所带来的模棱两可的状况。矢量裕度概念是史密斯（Smith）在1958年提出来的，其定义为开环幅相曲线距（-1，j0）点的最短距离，如图5.6.7所示。由于难于解析计算，矢量裕度以前没有得到推广使用，现在借助于计算机可以很方便地计算出矢量裕度，从而确定出系统的稳定程度。

图5.6.7　矢量裕度定义