奈奎斯特稳定性判据：如何确保系统稳定？

为了应用辐角原理确定右半s平面F（s）的零点数，把Cs包围的范围扩大到整个右半s平面，即Cs为由图5.5.5所示的虚轴和半径R→∞的半圆组成。这时所取的Cs称为奈奎斯特路径，简称奈氏路径，而在F平面上相应的CF称为奈奎斯特曲线，简称奈氏曲线。若在此Cs之内有Z个零点和P个极点，并且当s沿Cs顺时针移动一周时，F（s）沿CF曲线逆时针围绕坐标原点旋转N周，即Δ∠F（s）=N·2π，则根据式（5.5.7）有

图5.5.5　奈奎斯特路径Cs

所以

或

图5.5.5所示的Cs曲线可分成两部分：第一部分，Cs取虚轴，即s=jω，ω由-∞→0→∞变化；第二部分，Cs取半径R→∞的半圆。当s沿Cs的第一部分变化时，F（s）=F（jω）=1+G（jω）H（jω）；当s沿Cs的第二部分变化时，→∞。对于n＞m的情况，当→∞时，G（s）H（s）→0，F（s）=1+G（s）H（s）=1；对于n=m的情况，当→∞时，G（s）H（s）=bm/an，F（s）=1+G（s）H（s）=1+bm/an，an和bm分别为G（s）H（s）分母和分子中s最高次方的系数。对于这两种情况，F（s）均变成F平面上的一个点，s沿无穷大半圆移动时，Δ∠F（s）=0，因此式（5.5.8）的N只考虑s沿虚轴jω（ω由-∞→0→+∞变化）的辐角增量即可。这样，当s沿图5.5.5所示的Cs路径移动时，有

或

由式（5.5.9）可知，F（jω）和G（jω）H（jω）相比较，仅实数部分差1，故F（jω）曲线向左移动“1”个单位便得G（jω）H（jω）曲线。这个关系由图5.5.6（a）、（b）示出。比较图5.5.6（a）和图5.5.6（b）可以看出，F（jω）曲线包围原点的圈数等于G（jω）H（jω）曲线包围（-1，j0）点的圈数，即可用G（jω）H（jω）曲线包围（-1，j0）点的圈数来计算N。

图5.5.6　F（jω）与G（jω）H（jω）曲线

（a）F（jω）曲线；（b）G（jω）H（jω）曲线(www.xing528.com)

另外，由于G（jω）H（jω）与G（-jω）H（-jω）相共轭，即G（jω）H（jω）与G（-jω）H（-jω）对称于实轴，当ω由0→∞变化时，G（jω）H（jω）曲线包围（-1，j0）点的圈数为ω由-∞→0→+∞变化时G（jω）H（jω）曲线包围点（-1，j0）的圈数之半，所以式（5.5.8）可写成

式中 Z——闭环系统传递函数Φ（s）在右半s平面的极点数；

　　　P——开环传递函数G（s）H（s）在右半s平面的极点数；

　　　N——当ω由零至无穷大变化时，开环系统G（jω）H（jω）幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数，逆时针包围时，N为正。

式（5.5.10）为奈奎斯特稳定性判据的数学表达式，它可用文字叙述如下：

一个单回路负反馈系统，其闭环传递函数在右半s平面的极点数Z可用其开环传递函数在右半s平面的极点数P和开环幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数N来决定，其关系式为Z=P-2N。当Z=0时，闭环系统是稳定的。

【例5.5.1】若反馈系统的开环传递函数为

试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。

【解】用逐点描迹法绘出开环系统的幅相曲线示于图5.5.7。由图5.5.7可知，G（jω）曲线通过实轴-2处，包围（-1，j0）点的圈数N=-1，又由G（s）表达式知P=0，根据奈氏判据得闭环系统的右半s平面的根数为

图5.5.7　例5.5.1系统的开环奈氏曲线

故闭环系统不稳定。