根据规则进行根轨迹绘制的基本方案

在下面的讲述中，假定所研究的系统变化参数是根轨迹增益K*，当可变参数为系统的其他参数时，以下这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用以下这些基本法则绘制出的根轨迹，其相角遵循180°+2kπ条件，因此称为180°根轨迹，相应的法则可以叫作180°根轨迹的绘制法则。

法则1 根轨迹的起点、终点和分支数

根轨迹起于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点，根轨迹的分支数等于开环系统的极点数n与零点数m之大者。

根轨迹的起点是指当根轨迹增益K*=0时的根轨迹点，而终点是指K*→∞时的根轨迹点。由根轨迹的幅值条件

可知，当K*=0时，s=pj，故有n条根轨迹起始于开环传递函数的极点；当K*→∞时，s=zi，故有m条根轨迹终止于开环传递函数的零点。

在物理系统中，m≤n。当m＜n时，有n-m条根轨迹终止于无穷远处。的确，当s→∞时，有

如果把有限值的零点称为有限零点，把无穷远处的零点称为无穷零点，则可以说所有的根轨迹均终止于零点。当变化参数为K*时，n≥m；当变化参数不是K*时，可能存在n≤m的情况。因此，根轨迹的分支数等于m和n之大者。

法则2 根轨迹的对称性

由于闭环系统特征方程的根只有实数和共轭复数两种，所以根轨迹必然对称于实轴。如图4.2.2所示的二阶系统的根轨迹，当K*＞1时，根轨迹为过-1点对称于实轴的直线。

法则3 根轨迹在实轴上的分布

对于实轴上某一区域，如果在其右方的开环实数极点个数与开环实数零点个数之和等于奇数，则该区域是根轨迹。

设开环系统的零极点分布如图4.3.1所示。取实轴上任一点s1为试验点，画出开环零点和极点至s1的矢量，并标出其辐角。

由图4.3.1可得出以下结论：

（1）开环共轭复数极点p3和p4至s1的矢量辐角之和为θ3+θ4=2π，所以开环系统共轭复数极点对实轴上的根轨迹辐角条件式（4.2.11）没有影响。同理，开环共轭复数零点z3和z4对实轴上的根轨迹辐角条件也没有影响。

（2）试验点s1之左的开环实数极点p2和实数零点z2至s1的矢量辐角均等于零，对实轴上根轨迹辐角条件没有影响。

（3）试验点s1之右的开环实数极点p1和实数零点z1至s1的矢量辐角均等于π。

由上面三点可知，在计算各矢量辐角时，只需计算在试验点之右的开环实数极点和实数零点至该试验点的矢量辐角即可。若在试验点之右有A个实数极点和B个实数零点，则式（4.2.11）可写成

图4.3.1　实轴上的根轨迹

（A+B）π-2Aπ与（A+B）π实际是同一个角度，所以（A+B）π=（2k+1）π，式中（2k+1）是个奇数。于是，本法则得证。对于图4.3.1的s1点，A=1，B=1，A+B=2，所以（p2，z1）区间的实轴不是根轨迹。

法则4 根轨迹的渐近线

若n＞m，在K*→∞时，有n-m条根轨迹伸向无穷远处，在无穷远处根轨迹趋近于渐近线，渐近线与正实轴的交角为

渐近线与实轴的交点为

式中，pj为开环传递函数极点，zi为开环传递函数零点。

证明 设系统开环传递函数为

有n-m条渐近线。

当s很大时，式（4.3.3）可近似为

由式（4.3.5）和式（4.3.6）中sn-m-1项系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为

即其分子是开环系统极点之和减去开环系统零点之和。

选择无穷远处根轨迹上的一点s0=R ejφ，由于R充分大，所以所有的极点可以视为与坐标原点重合，所以

【例4.3.1】若开环系统传递函数为

试画出其实轴上的根轨迹和s→∞时的渐近线。

【解】（1）在图4.3.2上标出开环传递函数极点：p1=0，p2=-1，p3=-2。

图4.3.2　开环系统渐近线和实轴上的根轨迹

（2）在实轴上（-1，0）和（-∞，-2）区间之右的实数零极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。

（3）本题n=3，m=0，故有3条根轨迹在K*→∞时伸向无穷远处，其渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴的交角为

当k=0时，φa=π/3；

当k=1时，φa=π；

当k=2时，φa=-π/3。

图4.3.2上标出了σa和φa。

法则5 根轨迹的分离点与分离角

当K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在s平面某一点相遇后立即分开，这一点称为分离点。最常见的分离点出现在实轴上，实轴上的分离点有以下两种情况。

（1）实轴上的根轨迹相向运动，在某一点相遇后进入复数平面，如图4.3.3的A点。

（2）复数平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后分开，如图4.3.3的B点。不难看出，如果根轨迹在两相邻极点或两相邻零点之间，则在此相邻极点或相邻零点之间至少有一个分离点。下面介绍分离点的求法。

方法1：分离点对应闭环特征方程的重根，可以此作为计算分离点的依据。若系统开环传递函数为

图4.3.3　实轴上根轨迹分离点示意图

式中，P（s）和Q（s）为s的多项式函数，则其

闭环特征方程为

若s2是方程（4.3.9）的二重根，则s2满足下面两式

而l次重根sl应满足

在此应指出，若按上式求出的分离点处对应的K*＜0，则此点不在根轨迹上，不是分离点。

【例4.3.2】若开环传递函数为

试求根轨迹的分离点，并绘制根轨迹草图。

【解】系统闭环特征方程为

根据式（4.3.12），分离点应满足

由式（4.3.14）可得

将式（4.3.15）代入式（4.3.13），整理得

解式（4.3.16）得

将式（4.3.17）代入式（4.3.15），得分离点的K*值

根据上面讲的根轨迹绘制法则及计算的分离点，绘出完整的根轨迹曲线如图4.3.4所示。

图4.3.4　例4.3.2的根轨迹

方法2：系统开环传递函数如式（4.3.8）所示，由系统闭环特征方程得

将K*对s求导得

由式（4.3.11），若s是方程（4.3.9）的二重根，则下列方程成立：

则

将式（4.3.19）代入式（4.3.9）得

则

因此，闭环特征方程的二重根除满足特征方程外还满足式（4.3.20）。

需要注意的是，闭环特征方程的二重根中，只有那些位于根轨迹上的点才是分离点，所以求得重根后必须代入K*=-Q（s）/P（s），找出满足K*＞0的点。

根轨迹上也可能出现3条根轨迹会合再分离的情况，这对应于特征方程具有三重根的情形。三重根除了满足式（4.3.20）外，还要满足

本质上，方法2是方法1的变形。

方法3：分离点的坐标可由方程

解出，其中pj为开环极点，zi为开环零点。若无开环零点，则式（4.3.21）右边为零，证明从略。

分离角

分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。

分离角为

l为进入分离点的根轨迹的条数。显然，当l=2时，分离角必为直角。

法则6 根轨迹的起始角和终止角

根轨迹在开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角，根轨迹在开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角。当试验点s1在十分靠近某开环复数极点或零点的地方移动时，由其他开环极点或零点指向s1的矢量辐角之和可认为保持不变。因此，根轨迹在开环复数极点的起始角和在开环零点处的终止角可由辐角条件式（4.2.11）解出。

起始角为：

式中，分别表示矢量与正实轴之间的夹角，即开环零点和其余极点指向根轨迹起始的开环极点的矢量辐角。

终止角为：

式中，φzizl和θpjzl为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环零点的矢量辐角。

【例4.3.3】若开环系统的传递函数为

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试求根轨迹的起始角、终止角及根轨迹草图。

【解】（1）在图4.3.5上标出开环传递函数的极点和零点。

图4.3.5　例4.3.3根轨迹的起始角

并画出由p3以外各零极点指向p3的矢量。

（2）确定p3的起始角。

把上述指向p3的矢量辐角代入式（4.3.23），得

=(2k+1)×180°+(56.3°+18.4°+59°)-(108.4°+36.9°+90°)=78.4°

（3）确定p4的起始角。

由于根轨迹的对称性，所以p4的起始角为=-78.4°。

（4）确定z2的终止角。

图4.3.6示出了除z2之外各开环零极点至z2的矢量辐角，根据图4.3.6可得

把上述各角度代入式（4.3.24），得

（5）确定z3的终止角。

同样，由于根轨迹的对称性，得z3的终止角为=-149.6°。

（6）应用根轨迹性质及绘制法则画出的根轨迹草图如图4.3.7所示。

图4.3.6　例4.3.3根轨迹的终止角

图4.3.7　例4.3.3的概略根轨迹图

法则7 根轨迹与虚轴的交点

根轨迹曲线从左半s平面通过虚轴进入右半s平面以后，系统就变得不稳定了。因此精确地确定根轨迹与虚轴的交点是非常必要的。根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程中有纯虚根，系统处于临界稳定状态。下面介绍两种求法。

方法1：将s=jω代入特征方程中得

则可解出ω值及对应的临界根轨迹增益K*及开环增益K。

【例4.3.4】已知系统开环传递函数

求根轨迹与虚轴的交点。

【解】系统闭环特征方程为

联立求解得

其中，K为系统开环增益，K*为根轨迹增益。

方法2：若根轨迹与虚轴相交，意味着K*的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此令劳斯行列表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的K*值。此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯行列表中s2行的系数构造辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的ω值。如果根轨迹与正虚轴（或者负虚轴）有一个以上交点，则应采用劳斯行列表中幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。

【例4.3.5】若开环系统传递函数为

求系统的根轨迹与虚轴的交点，并绘制全部根轨迹草图。

【解】该系统的开环传递函数为

（1）列写劳斯行列表：

（2）求根轨迹与虚轴的交点。

令2-K*/3=0和K*＞0，得K*=6。把此K*值代入s2行系数，列写由此行系数构成的方程

解上面二次方程得为根轨迹与虚轴的交点。

（3）应用前面所讲的根轨迹性质绘出该系统的根轨迹草图如图4.3.8所示。

法则8 根之和

系统开环传递函数为

图4.3.8　例4.3.5的根轨迹图

若满足n≥m+2，则

证明 对于式（4.3.28）所示系统，其闭环特征方程为

或写成

因为上面两个方程实为一个方程，所以有下面等式

将式（4.3.30）两端分别展成多项式形式，即

若满足条件n≥m+2，则式（4.3.31）左端sn和sn-1项的系数与K*和zi无关，所以存在

式（4.3.29）表明，当系统满足n≥m+2时，闭环传递函数的极点之和与根轨迹增益无关，而且等于该系统开环传递函数极点之和，即随K*的增大，若闭环特征方程的某些根在s平面上向左移动，其他根必向右移动，使其和保持不变。利用这一特性可以估计根轨迹曲线的变化趋势，并确定其中的某个未知闭环极点。

【例4.3.6】在例4.3.5中，试确定当根轨迹与虚轴相交时所对应的闭环实数根。

【解】由于该系统满足n≥m+2，依据式（4.3.29）有

即

由例4.3.5可知，当根轨迹与虚轴相交时，有

【例4.3.7】若系统开环传递函数为

试用根轨迹法确定当闭环主导极点具有阻尼ζ=0.5时的K*值、等效二阶系统及其过渡过程性能指标。

【解】（1）画出K*为参变量的根轨迹图。

①系统的开环极点为p1=0，p2=-3+j1，p3=-3-j1，其零极点如图4.3.9所示。

图4.3.9　例4.3.7的根轨迹

②实轴上根轨迹为（-∞，0]。

③求渐近线：

当k=0时，φa1=π/3；当k=1时，φa2=π；当k=2时，φa3=5π/3。

④求分离点：

解得

⑤求根轨迹与虚轴的交点。

闭环系统特征方程为

其劳斯行列表为

令劳斯行列表s1行数为零，即（60-K*）/6=0，得K*=60，解方程6s2+60=0，得

s4,5=±j3.16。

依据以上几步画出的根轨迹如图4.3.9所示。

（2）求阻尼ζ=0.5时的闭环极点及K*值。

由二阶系统的关系式知

在图4.3.9上，过坐标原点与负实轴夹角为60°作一条直线，此直线与根轨迹交于

s1，2就是ζ=0.5时的一对共轭极点。与此同一K*值下的第三个极点可通过根之和来求，即

s1、s2、s3位置见图4.3.9，用“”表示。

相应ζ=0.5时的K*可应用幅值条件式（4.2.10）来求，即

当开环传递函数无零点时，有

s3至虚轴的距离与s1至虚轴距离的比值为

所以本系统可以简化为等效二阶系统。

（3）求等效二阶系统及其过渡过程指标。

当K*=12.13时，系统闭环传递函数为

其无阻尼自然振荡频率及阻尼系数分别为

系统过渡过程指标为

最后需要指出，上述结果的精度依赖于根轨迹的作图精度，像前面所讲的根轨迹的草图是不能满足的。为了解决作图的精度，必须使用计算机绘制根轨迹图。