优化系统性能：根轨迹分析

本节以一个二阶系统为例来具体说明根轨迹的基本概念。

【例4.2.1】若二阶系统的结构图如图4.2.1所示，试绘制其根轨迹曲线。

【解】根据图4.2.1得系统闭环传递函数为

图4.2.1　二阶控制系统

式中，K*=2K。闭环系统特征方程为

解式（4.2.1）得

对式（4.2.2）取不同的K*值，得对应s1，2的数值列于表4.2.1。

表4.2.1　例4.2.1中K*与s1，2的对应值(www.xing528.com)

根据表4.2.1绘出的系统根轨迹曲线如图4.2.2所示。根轨迹上的箭头表示随着K*的增加根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相对应的根轨迹增益K*的数值。由根轨迹曲线可以看出该二阶系统的性能。

图4.2.2　例4.2.1的根轨迹图

1）稳定性

当开环增益从零变到无穷时，图4.2.2上的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此图4.2.1所示系统对所有的K值都是稳定的。如果分析其他高阶系统的根轨迹图，根轨迹有可能越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。

2）稳态性能

由图4.2.2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属Ⅰ型系统，因而根轨迹上对应的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益K，而是所谓根轨迹增益K*，但开环增益和根轨迹增益之间仅相差一个比例常数，很容易进行换算。

3）动态性能

当K*＜1时，闭环系统的特征根为两个相异负实数，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K*=1时，闭环系统的特征根为两个负实数，且两根重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程；当K*＞1时，闭环系统的特征根为具有负实部的共轭复数，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随着K*的增大而增大，但调节时间基本不变。

上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。