稳定性：系统稳定的充要条件

1.稳定性定义

稳定是控制系统最重要的性能，是系统能够正常运行的首要条件。如果一个系统不稳定，那么其动态响应和稳态误差分析就无从谈起。自动控制的基本任务之一就是分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施。

什么是稳定性呢？针对不同类型的系统，稳定性有很多定义。这里，我们仅限于讨论线性时不变（LTI）系统。对于LTI系统，系统在输入信号作用下的动态总响应为

总响应=自由响应+受迫响应

基于自由响应给出系统稳定、不稳定、临界稳定的定义如下：

若自由响应随着时间趋于无穷而趋于零，则称LTI系统稳定；若自由响应随着时间趋于无穷而越来越大，则称LTI系统不稳定；若随着时间趋于无穷，自由响应既不增大，也不衰减，而是保持常值或者振荡，则称LTI系统临界稳定。因此对于稳定的LTI系统而言，随着时间趋于无穷，自由响应趋于零，系统只剩下受迫响应。

上述稳定性定义是基于自由响应给出的。但是当人们看到系统的总输出响应时，很难将自由响应从系统总响应中分离出来。如果输入是有界的，而总响应随着时间趋于无穷并没有趋于无穷，那么说明自由响应没有趋于无穷。如果输入是无界的，输出也是无界的，我们就不能知道是由于受迫响应无界还是因为自由响应无界而导致总响应无界。所以，基于系统的总响应，我们给出另一种系统稳定性的定义如下：

若系统在有界输入作用下，其输出响应也是有界的，则称该系统是稳定的，我们称之为BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）稳定性。

我们基于总响应而不是自由响应给出系统不稳定的另一种定义。如果输入是有界的，而总响应是无界的，那么系统不稳定，因为我们敢断定自由响应随着时间趋于无穷而趋于无穷。如果输入是无界的，总响应输出也是无界的，那么我们不敢断定是否由于自由响应无界而导致总响应无界。因此，基于总响应我们给出系统不稳定的另一种定义如下：

若存在有界输入使得输出总响应无界，则称系统是不稳定的。

上述定义可以帮助我们澄清临界稳定的概念，其实临界稳定的真正含义是：系统对某些有界输入是稳定的，对有些有界输入是不稳定的。例如，如果系统的自由响应是无阻尼等幅振荡，当给系统一个有界同频率的正弦输入信号时，系统将产生越来越大的振荡。而除了这种正弦信号外，系统对所有有界输入都是稳定的。因此，基于自由响应定义的临界稳定系统，就被归类到BIBO定义的不稳定系统中。

因此，LTI系统的稳定性定义有以下两种：(www.xing528.com)

一种是基于自由响应定义的：若自由响应随着时间趋于无穷而趋于零，则称LTI系统稳定；若自由响应随着时间趋于无穷而越来越大，则称LTI系统不稳定；若随着时间趋于无穷，自由响应既不增大，也不衰减，而是保持常值或者振荡，则称LTI系统临界稳定。

另一种是基于总响应定义的（BIBO）：若系统在有界输入作用下，其输出响应也是有界的，则称系统是稳定的。若存在有界输入使得输出总响应无界，则称系统是不稳定的。

实际中，不稳定系统的自由响应会越来越大，从而破坏系统及周围财产，甚至危及生命。许多实际系统会设计止动装置防止系统失控，因此一般实际控制系统的输出量只能增大到一定程度。

2.系统稳定的充分必要条件

按照基于自由响应的稳定性定义，怎么判断一个系统稳定呢？

根据我们之前对系统极点的讨论，在左半s平面的极点要么产生单调的指数衰减自由响应，要么是衰减的正弦振荡自由响应，这些响应随着时间趋于无穷而趋于零。因此如果闭环系统的极点在左半s平面，它们的实部是负的，则系统是稳定的，即稳定系统的闭环传递函数的极点位于左半s平面。

在右半s平面的极点对应的自由响应，要么单调指数增长，要么指数级振荡发散，随着时间趋于无穷而趋于无穷。因此，如果闭环系统的极点在右半s平面，它们的实部是正的，则系统是不稳定的。虚轴上的极点，如果是两重根或以上，其对应的自由响应是Atncos（ωt+θ），其中n=1，2，...，随着时间趋于无穷，自由响应趋于无穷。因此，不稳定的系统的闭环传递函数至少有一个极点在右半s平面，和/或虚轴上有两重根或两重根以上。

若系统在虚轴上有极点，且是非重极点，则其对应的自由响应是等幅振荡；在原点的一个极点产生的自由响应是一个常值，它们的响应在幅值上既不增加也不减小。因此，临界稳定系统的闭环传递函数在虚轴上有非重极点，其他极点位于左半s平面。

因此，LTI系统稳定的充分必要条件是：闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。或者说，闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。

如何判断反馈系统的稳定性呢？在有些情况下，我们可以快速判断系统的稳定性。如果系统的极点都在左半s平面，则其闭环传递函数的分母多项式的系数都是正的，也没有缺项。因此系统不稳定的充分条件是其闭环传递函数的分母多项式存在符号相异的系数。如果闭环传递函数的分母多项式缺项，则系统或者不稳定或者至多是临界稳定。但是如果闭环传递函数的分母多项式的系数都是正的，且也没有缺项，我们就不能快速断定系统极点的位置，这时可以通过计算机求闭环传递函数分母多项式的根（即闭环系统特征方程的根）来判断系统稳定性，我们还可以通过劳斯判据来判断系统的稳定性，而无须求解闭环系统特征方程的根。