高阶系统的瞬态响应分析

高阶系统的闭环传递函数可写成

式中，K=b0/a0，zj（j=1，2，…，m）为闭环系统零点，si（i=1，2，…，n）为闭环系统极点。

高阶系统单位阶跃响应的像函数为

式中，K=b0/a0，zj（j=1，2，…，m）为闭环系统零点，si（i=1，2，…，n）为闭环系统极点。

高阶系统单位阶跃响应的像函数为

如果闭环极点si（i=1，2，…，n）相异，则上式可写成

如果闭环极点si（i=1，2，…，n）相异，则上式可写成

则高阶系统的单位阶跃响应为

则高阶系统的单位阶跃响应为

1.极点至虚轴的相对距离对系统动态响应的影响

前面已经讲过，系统闭环极点的位置蕴含了丰富的系统过渡过程响应特性信息，决定了系统的自由响应模态。当闭环系统的极点具有负实部时，其对应的自由响应将随时间t的增大而单调衰减或者振荡衰减至零，其中远离虚轴的极点所对应的自由响应衰减得很快，在整个系统到达稳态之前早已消失；另外，远离虚轴的极点对应的留数很小，其自由响应在整个系统过渡过程响应中所占的比重较小，因此可以忽略远离虚轴的极点对系统动态过程的影响。而那些离虚轴较近的极点所对应的自由响应衰减得很慢，其对应的留数也较大，在整个动态过程中始终起主导作用，所以动态过程的主要特征取决于靠近虚轴的极点。

经验证明，某些极点至虚轴的距离大于最靠近虚轴的极点至虚轴的距离5倍时，其对应的自由分量对动态过程的影响可以忽略，即这些极点可以从闭环传递函数中去掉，达到系统降阶的目的。注意消去极点前后，系统的稳态增益需保持不变，即s趋于零时系统的增益保持不变。

2.零极点相对距离对系统动态响应的影响

由式（3.8.1）可知，留数Bi的表达式的分子为所有零点至极点si的矢量之积，如果在si附近有零点，则Bi的数值将变小；而当这一对零极点的距离小于该极点至虚轴的距离的十分之一时，Bi的数值将很小，以致si对应的自由响应对动态过程的影响可以忽略，这对零极点称为偶极子。偶极子可以同时从闭环传递函数的分子、分母中去掉，这样也达到了系统降阶的目的。(www.xing528.com)

例如，设一系统的闭环传递函数如下：

1.极点至虚轴的相对距离对系统动态响应的影响

前面已经讲过，系统闭环极点的位置蕴含了丰富的系统过渡过程响应特性信息，决定了系统的自由响应模态。当闭环系统的极点具有负实部时，其对应的自由响应将随时间t的增大而单调衰减或者振荡衰减至零，其中远离虚轴的极点所对应的自由响应衰减得很快，在整个系统到达稳态之前早已消失；另外，远离虚轴的极点对应的留数很小，其自由响应在整个系统过渡过程响应中所占的比重较小，因此可以忽略远离虚轴的极点对系统动态过程的影响。而那些离虚轴较近的极点所对应的自由响应衰减得很慢，其对应的留数也较大，在整个动态过程中始终起主导作用，所以动态过程的主要特征取决于靠近虚轴的极点。

经验证明，某些极点至虚轴的距离大于最靠近虚轴的极点至虚轴的距离5倍时，其对应的自由分量对动态过程的影响可以忽略，即这些极点可以从闭环传递函数中去掉，达到系统降阶的目的。注意消去极点前后，系统的稳态增益需保持不变，即s趋于零时系统的增益保持不变。

2.零极点相对距离对系统动态响应的影响

由式（3.8.1）可知，留数Bi的表达式的分子为所有零点至极点si的矢量之积，如果在si附近有零点，则Bi的数值将变小；而当这一对零极点的距离小于该极点至虚轴的距离的十分之一时，Bi的数值将很小，以致si对应的自由响应对动态过程的影响可以忽略，这对零极点称为偶极子。偶极子可以同时从闭环传递函数的分子、分母中去掉，这样也达到了系统降阶的目的。

例如，设一系统的闭环传递函数如下：

则系统的单位阶跃响应输出为

则系统的单位阶跃响应输出为

其部分分式展开式为

其部分分式展开式为

-4.01的极点与零点-4的距离最近，其对应的留数大小为0.033，比其他两个极点的留数低两个数量级，因此我们可以省略这个极点对应的响应，从而将原三阶系统近似为二阶系统，系统单位阶跃响应输出近似为：

-4.01的极点与零点-4的距离最近，其对应的留数大小为0.033，比其他两个极点的留数低两个数量级，因此我们可以省略这个极点对应的响应，从而将原三阶系统近似为二阶系统，系统单位阶跃响应输出近似为：