欠阻尼二阶系统的动态性能指标及计算分析

下面给出二阶欠阻尼系统的动态性能指标的定义，如图3.5.3所示。

上升时间tr：对于有振荡的系统，可定义为响应从零开始第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量，上升时间越短，响应速度越快。

峰值时间tp：指响应超过其终值并到达第一个峰值所需要的时间。

调节时间ts：指响应到达并保持在终值±5%（或±2%）内所需的最短时间；终值±5%（或±2%）内的区域常被称为误差带。

超调量σp%：指响应的最大偏离量，即峰值c（tp）与终值c（）的差与终值c（）比的百分数。即

若c（tp）＜c（∞），则响应无超调。超调量又称为最大超调量，或者百分比超调量。

这些指标的定义也适用于二阶以上的系统，只是二阶以上的系统不能得到这些动态性能指标的解析表达式或者其解析表达式很复杂，除非将高阶系统简化为二阶系统。

图3.5.3　欠阻尼二阶系统的动态性能指标

在实际应用中，通常用tp或tr评价系统的响应速度；用σp%评价系统的阻尼程度；而ts是同时反映系统响应速度和阻尼程度的综合性指标。

下面推导欠阻尼情况下，二阶系统各项性能指标的计算公式。

1.上升时间tr

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应表达式为

ωntr与阻尼系数的关系如图3.5.4所示。由图可见，阻尼系数越大，ωntr越大。

如果上升时间的定义采用如类似一阶系统的定义，即定义为响应从终值的10%上升到90%所需的时间，则不能得到上升时间与阻尼比之间的精确解析表达式，但是基于欠阻尼二阶系统的阶跃响应数学表达式，并利用计算机进行数值计算，可以求解出上升时间的近似计算公式为

图3.5.4　欠阻尼二阶系统规范化上升时间ωntr与阻尼比的关系曲线

若ζ=0.6，则

2.峰值时间tp

对式（3.5.3）求导，并令其为零，即

因此，当欠阻尼二阶系统的极点在复平面上向左移动时，如图3.5.5（a）所示，系统的峰值时间不变，单位阶跃响应的振荡频率也不变，如图3.5.5（b）所示。

3.超调量σp%

将式（3.5.9）代入式（3.5.3）得

按照超调量定义，并考虑到c（∞）=1，求得

图3.5.5　欠阻尼二阶系统的极点在复平面上向左移动及对应的单位阶跃响应

（a）极点在复平面上向左移动；（b）对应的单位阶跃响应

欠阻尼二阶系统ζ与σp%的关系曲线如图3.5.6所示。

图3.5.6　欠阻尼二阶系统ζ与σp%关系曲线

可见，欠阻尼二阶系统的超调量只与阻尼系数有关，且阻尼系数越大，超调量越小。若已知超调量，则阻尼系数的求解公式如下：

4.调节时间ts(www.xing528.com)

由式（3.5.3）知，欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的包络线是曲线1±，整个响应曲线总是包含在这一对包络线之内，如图3.5.7所示。

为计算方便，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，认为包络线进入允许误差带的时间是调节时间ts，这时ts满足

其中，Δ=2%或者Δ=5%。

图3.5.7　二阶系统单位阶跃响应的包络线

对式（3.5.12）两端取自然对数，得

若满足ζ2≪1，则有

当Δ=5%时，ts的近似表达式为

当Δ=2%时，得

式（3.5.13）及式（3.5.14）表明，调节时间与闭环极点的实部数值成反比，闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。

在图3.5.5中，当欠阻尼二阶系统的极点在复平面上向左移动时，系统的调节时间变小。

当欠阻尼二阶系统的极点在复平面上向上移动时，如图3.5.8（a）所示，系统的振荡频率增大，但是调节时间不变，单位阶跃响应的包络线基本一致，如图3.5.8（b）所示。

图3.5.8　二阶欠阻尼系统的极点在复平面上向上移动及对应的单位阶跃响应曲线

（a）极点在复平面上向上移动；（b）对应的单位阶跃响应

由于阻尼系数主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然振荡频率来决定。若能保持阻尼系数不变而加大自然振荡频率值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

从上述各项动态性能指标的计算公式可以看出，各指标之间是有矛盾的，例如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度不能同时达到满意的结果。因此对于既要增强系统的阻尼程度、又要求系统具有较快的响应速度的二阶系统设计，需要采取合理的折中方案或者补偿方案，才能达到期望的目的。

【例3.5.1】若系统闭环传递函数为

试求其单位阶跃响应表达式及性能指标。

【解】根据系统闭环传递函数表达式，可得系统无阻尼自然振荡频率及阻尼系数分别为

此系统工作在欠阻尼情况，其单位阶跃响应为

其性能指标为

【例3.5.2】单位反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.5.9所示，试确定其闭环传递函数和开环传递函数。

【解】对式×100%两端取自然对数有

图3.5.9　例3.5.2系统的单位阶跃响应曲线

综合二阶系统性能指标与ζ、ωn的关系可以得出结论：当ζ值取0.7左右时，ts最小，σp%也不大，而ωn则越大越好。一般工程上取0.5≤ζ≤0.8范围之内，并根据可能将ωn尽量取大一些。如果把这一要求反映到零极点分布图上，则要求闭环极点为一对共轭复数，极点与负实轴夹角β在45°左右，且与虚轴的距离越远越好。事实上，根据β=arccosζ可求出：当ζ=0.5时，β=60°；当ζ=0.707时，β=45°；当ζ=0.8时，β=36.8°。因此，在设计控制系统时，根据对系统过渡过程性能指标的要求，应把闭环传递函数的极点限定在s平面的某一范围内，例如闭环极点在图3.5.10中所示的阴影范围之内时，系统满足ζ≥0.5，ts≤4/σd。

图3.5.10　期望闭环传递函数的极点在复平面上的位置