线性与非线性系统解析

1.线性系统

按照数学的观点，凡是由线性函数（包括线性微分方程、线性差分方程和线性代数方程）描述的系统，称为线性系统；按照物理的观点，凡是同时满足叠加性和齐次性（均匀性）的系统称为线性系统。

如果系统输入分别为r1（t）、r2（t）时，系统对应的输出分别为c1（t）、c2（t），那么，若输入为r（t）=r1（t）+r2（t）时，系统的输出为c（t）=c1（t）+c2（t），则称系统满足叠加性。叠加性表明，欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只需要对这几个信号单独求响应，然后加起来就是总响应。

如果输入为r（t）=a·r1（t）时，系统输出为c（t）=a·c1（t），则称系统满足齐次性。齐次性表明，当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增大若干倍。

例如，一阶线性微分方程描述的系统，

就是一个线性系统，满足叠加性和齐次性。若k（t）随着时间而变化，则称该系统为一阶线性时变系统；若k（t）为常数，则称该系统为一阶线性定常系统（LTI）。定常系统又称为时不变系统，其特点是：描述系统运动的微分或差分方程的系数均为常数，在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的一类系统。(www.xing528.com)

定常系统的响应特性只取决于输入信号的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。若系统在输入信号r（t）作用下的输出响应为c（t），当输入延迟一段时间，即输入信号为r（t-τ）时，则系统的响应也同样延迟一段时间且形状保持不变，为c（t-τ）。定常系统的这种基本特性给系统分析研究带来了很大方便，本课程的研究对象主要是线性时不变系统。

2.非线性系统

系统中只要有一个元部件的输入、输出特性是非线性的，这类系统就称为非线性系统，这时，要用非线性微分（或差分、或代数）方程描述其特性。非线性方程的特点是方程系数与变量有关，或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项，例如

严格地说，实际物理系统中都含有程度不同的非线性元部件，如放大器和电磁元件的饱和特性、运动部件的死区、间隙和摩擦特性等。由于非线性方程在数学处理上较困难，目前对不同类型的非线性控制系统的研究还没有统一的方法。对于非线性程度不太严重的元部件，可采用在一定范围内线性化的方法，将非线性控制系统近似为线性控制系统。