评价方法：因子分析及其应用

本章的评价方法将采用因子分析法，它的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子，以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。

（1）因子分析方法的数学模型

因子分析法是利用统计软件SPSS对收集的大量数据进行分析，通过降维来简化数据结构的方法，通过把多个变量（指标）化为少数几个综合变量（综合指标），而这几个综合变量可以反映原来多个变量的大部分信息。为了使这些综合变量所含的信息互不重叠，应要求它们之间互不相关。可以通过下面的数学模型来表示：

简记为：

其中X1，X2，…，Xn为原有变量，是均值为0，标准差为1的标准化变量；F1，F2，…，Fm称作因子变量，是潜在于众多原有变量中的因子变量；An×m是因子载荷矩阵，anm表示第m个因子变量对第n个原有变量的解释程度。在各个因子变量不相关的情况下，因子载荷anm就是第n个原有变量和第m个因子变量的相关系数，anm绝对值越大，则因子变量Fm和原有变量Xn的相关程度越高。

（2）因子分析方法的步骤

因子分析有三个核心问题：一是如何构造因子变量；二是如何对因子变量进行命名解释；三是如何计算因子得分。具体分为下面5个基本步骤：

1）检验待分析的原有若干变量是否适合因子分析

因子分析有一个潜在的要求，即原有变量之间要具有比较强的相关性。如果原有变量之间不存在较强的相关关系，那么就无法从中综合出能反映某些变量共同特性的少数公共因子变量。因此，在因子分析时，需要对原有变量作相关分析。SPSS在因子分析过程中提供了三种检验方法：直接计算变量的相关系数矩阵、巴特利特球形检验和KMO检验。简单介绍如下：

a. 直接计算变量的相关系数矩阵时，原变量间线性相关系数一般绝大部分应不低于0.2。

b. 巴特利特球形检验（Bartlett’s Test of Sphericity）中，H0即相关矩阵是单位阵，显然，其显著性水平至少要小于0.05，才能拒绝H0，说明各个变量间存在相关性，适合于作因子分析。

c. KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验中，KMO的取值范围在0～1之间。如果KMO的值越接近于1，则所有变量之间的简单相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，因此越适合于作因子分析。如果KMO越小，则越不适合于作因子分析。

2）构造因子变量(www.xing528.com)

因子分析中有多种确定因子变量的方法，如基于主成分模型的主成分分析法和基于因子分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法等。考虑到使用的普遍性和方便性，本章采用基于主成分模型的主成分分析法，该方法是使用最多的因子分析方法之一。

3）因子变量的命名与解释

对于因子变量的解释，可以进一步说明影响原有变量系统构成的主要因素和系统特征。在实际工作中，主要是通过对载荷矩阵A的值进行分析，得到因子变量和原有变量的关系，从而对因子变量进行命名。通过对因子载荷矩阵的旋转避免因子变量的含义模糊不清，旋转的方法有正交旋转、斜交旋转和平均正交旋转，其中正交旋转最常用。

4）计算因子得分

通常不用原始的载荷估计而是用旋转后的载荷估计来计算因子得分。因子分析的数学模型是将原有变量表示为因子变量的线性组合。即：

Xi=αi1F1+…+αimFm（i=1，2，…，n）

由于因子变量能够反映原有变量的相关关系，用因子变量代表原有变量时，更有利于描述研究对象的特征，因而往往需要反过来将因子变量表示为原有变量的线性组合，即：

Fj=βj1X1+…+βjnXn（j=1，2，…，m）

称上式为因子得分函数，用此公式计算因子得分。由于因子得分函数中方程的个数m小于变量的个数n，因此不能精确计算出因子得分，只能对因子得分进行估计。

5）计算综合得分

综合得分由各个因子变量的得分加权求和而得，其中权数是各个因子变量的方差贡献率占全部因子方差贡献率的比重。通过以上模型的计算可以求出各因子的得分及评价对象综合得分。