曲面立体表面的展开图设计与优化

曲面上连续两素线能构成一个平面时（两素线平行或相交），曲面才是可展的。因此可展曲面只能是直纹面，最常见的是圆柱面和圆锥面。

1.圆柱面的展开

（1）正圆柱面展开 图8-12是一个正圆柱面，其展开图是一个矩形，长为底圆周长πD，高为圆柱高H。

图8-12 正圆柱面展开

（2）截头圆柱面展开 在生产中，正圆柱面的展开图常用求正圆柱的内接多面棱柱的展开图来做近似。图8-13中求作截头圆柱面展开图就是用的这种方法（内接正多边形未画出）。

图8-13 截头正圆柱面展开

作图步骤如下：

1）将圆柱底圆12等分，得等分点1、2、3、…、12。在主视图作出过各分点的素线。

2）将底圆展开成一条直线，长度为πD，找出直线上的12个等分点。为作图简便，可将该直线与圆柱主视图的底圆投影画成平齐。

3）过直线上各等分点作垂线，长度为圆周上该分点处素线长，可直接从主视图中对齐。

4）光滑连接各垂线端点，即得截头圆柱面展开图。

5）由于截头圆柱面前后对称，实际作图时，作一半即可，另一半是它的对称图形。

（3）直角弯头的展开 在通风管路连接中，如果要垂直地改变管路的方向，常用图8-14所示的直角弯管。一般将直角弯管分成若干节。图示为四段，三节。

图8-14 直角弯头的展开图

两端两个半节Ⅰ、Ⅳ，中间两个全节Ⅱ、Ⅲ，如图8-14a所示。其中每一节都是斜截正圆柱面，半节所对的角度为15°，全节所对角度为30°。因此直角弯头的展开就可以按画截头正圆柱面展开图的方法来进行。如图8-14b所示，由于图形对称，图中仅作出Ⅰ、Ⅱ节展开图的一半。

实际生产中，当各节斜口角度相同时，为了下料方便，接口准确和节省材料，常采用图8-14d的方法，先画出一个端部半节的展开图，再以此为样板，画出其余各段的展开图。为了合理利用材料，可以先假定将各段沿接缝切开，如图8-14c所示，然后将双数节Ⅱ、Ⅳ绕轴线旋转180°，如图8-14d所示，这样就能拼合成一张矩形。如果用现成的圆管切割然后焊接来制造的话，可以先将管子切割成图8-14d那样的段，然后也是双数节转180°，转成如图8-14c所示位置，再焊接即可。

图8-15 正圆锥面展开图

2.圆锥面的展开

（1）圆锥面的展开 如图8-15a所示，正圆锥面的表面素线相等且相交于锥顶，其展开图是一个以素线长度R为半径，底圆周长πD为弧长的扇形。扇形的包角α=πD/R。如图8-15b、c所示。在生产中，画正圆锥面的展开图时，一般按正圆锥的内接多面正棱锥近似地展开，如图8-15d、e所示。作图时，先将圆锥底圆12等分，然后以每一等份所对应的弦长为底边，依次连续地作出12个等腰三角形，腰长为圆锥素线长R，即得正圆锥面的近似展开图。

（2）斜椭圆锥面的展开 斜椭圆锥是指轴线倾斜于底面，底面为圆的锥体，如图8-16所示。斜椭圆锥面的展开图画法与正圆锥面类似，也是用内接于锥面的多面斜棱锥的展开图来近似。但是斜椭圆锥面上的素线长度是不等的，除特殊位置素线外，其他大多数素线实长需要求取。图8-17所示的斜椭圆锥展开图是用斜八棱锥面来近似表示的，除素线SⅠ，SⅤ（为正平线，正面投影反映实长）外，其余素线实长均用直角三角形法求得，如图8-17a所示。图8-17b为完成的斜椭圆锥面展开图。

图8-16 斜椭圆锥

图8-17 斜椭圆锥面展开图

（3）截头正圆锥面的展开 如图8-18所示，截头圆锥面的展开关键是要求出斜截面上各点到锥顶的素线的实长。由于SA和SG在正面轮廓素线上，是正平线，正面投影反映实长，可直接从正面投影上截取。而SB、SC、…、SF为一般位置直线，正面投影不反映实长，必须另求。可以用旋转法来完成。例如可以将SB绕圆锥轴线旋转到SA或SG所在素线的位置，此位置时投影反映实长，在旋转过程中，点B的轨迹是圆锥表面过B点的纬圆，其正面投影是过B点的水平线，由此便可确定B点旋转到最左或最右素线的位置，也就得到了SB的实长。类似地，可以得到其他一般位置线的实长。(www.xing528.com)

作图过程如下：

1）将圆锥底圆12等分，得到过等分点素线的正面投影s＇1＇、s＇2＇、…、s＇7＇，它们分别与斜截面交于a＇、b＇、…、g＇。

图8-18 截头正圆锥面的展开图

2）将截切前的完整圆锥面展开成扇形，得到过各分点的放射状素线，方法同图8-15。

3）求斜截面上点到锥顶的素线的实长，先过点a＇、b＇、…、g＇作水平线与s＇7＇相交，则锥顶s＇到各交点的距离就是所求实长。

4）将求得的实长依次截取到展开图上相应的素线上，得交点A、B、…、G；

5）光滑连接展开图上各交点，得前半锥面展开图，然后对称得全图。

变形接头用来连接两段截面形状不同的管道，使通道形状逐渐变化，减少过渡处的阻力。变形接头的表面应设计成可展表面，以保证表面能准确展开。

例1：图8-19a所示的斜口方管接头是用来连接正方形（底面）和矩形（顶面）的变形接头，求其展开图。

分析：由图8-19b可以看出，斜口方管接头是前后对称的，其左右两侧面为等腰梯形，都是正垂面。前后两个侧面不是平面，从投影图中可知EF与AB的正面投影相交，水平投影平行，故直线EF（GH）与直线AB（CD）交叉，不可能组成平面。为此连接BE，把ABFE分成△AEB和△EBF两个平面，也可以连接AF，分ABFE为△AEF和△ABF。只要依次求出各平面形的实形，即可作出方管的展开图。

图8-19 斜口方管接头展开图

解：作图步骤如下

①求实长。用直角三角形法求直线BE、BF的实长，如图8-19b所示。

②水平投影1a、2e、3f、4b为正垂线，正面投影1＇2＇、3＇4＇、e＇f＇为正平线，a＇b＇=ab为侧垂线，这些投影均反映相应边的实长。

③作展开图。由于图形前后对称，可先作出前半部分，如图8-19c所示。作对称中心线，在其上取ⅠⅡ=1＇2＇。过Ⅰ、Ⅱ两点分别作ⅠⅡ的垂线，并取ⅡE=2e，ⅠA=1a，连接AE，即得四边形ⅠⅡEA的实形。

④以AE为一边，BE和AB为另两边（实长已有），作出△AEB实形。

⑤以BE为一边，EF和BF为另两边（实长已有），作出△BEF实形。

⑥对于四边形BFⅢ Ⅳ，可以把它分成直角三角形BKF和矩形KFⅢ Ⅳ。FK⊥KB，故可以BF为直径作半圆，自B以BK（=bk）为半径作圆弧，交点为K。连接BK，并延长至Ⅳ，使ⅣB=4b。作ⅢF平行于ⅣB且ⅢF=3f，即得四边形Ⅲ ⅣBF的实形。由此完成展开图的一半，另一半可对称相等求出。

例2：图8-20a所示的方圆接头是用来连接圆管（顶面是圆）和方管（底面是正方形）的变形接头，求其展开图。

分析：图8-20a所示的方圆接头，可以把它设计成由四个相同的部分椭圆锥面和四个全等的等腰三角形所组成。由于方口平面与圆口平面平行，因而锥面与平面的分界线是方口顶点与圆口的中心线与圆周的交点的连线。这样，求方圆接头的展开图就是求等腰三角形和部分椭圆锥面实形的问题了。

解：作图步骤：

①为求△ABF的实形，首先求BF（=AF）的实长，如图8-20b所示，AB为侧垂线，实长可直接得到。作△ABF，如图8-20c所示。

②将部分椭圆锥面BFG三等分，转化为求多棱锥，具体过程可参看图8-17，期间需要用到BⅠ（=BⅡ）的实长。以BF为公共边作锥面BFG展开图。

③顺次再作其余等腰三角形和部分椭圆锥面，即得方圆接头的展开图。

图8-20 方圆接头的展开图