曲面立体的投影表示方法

曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。

1.圆柱

圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO₁回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为圆柱面的素线。

（1）圆柱的投影 画图时，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。

举例：如图3-3a所示，圆柱的轴线垂直于侧面，圆柱面上所有素线都是侧垂线，因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点画线，表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影，上、下两边a＇a＇1、b＇b＇1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA₁、BB₁是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线，也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。

图3-3 圆柱的投影及表面上的点

a）立体图 b）投影图

总结圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。

（2）圆柱面上点的投影

方法：利用点所在的面的积聚性法（因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性）。

举例：如图3-3b所示，已知圆柱面上点M的正面投影m＇，求作点M的其余两个投影。

因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在圆周上。又因为m＇可见，所以点M必在前半个圆柱面上，由m＇求得m″，再由m＇和m″求得m。

2.圆锥

圆锥是由圆锥面和底面所围成。圆锥面可看作是一条直母线围绕与它相交的轴线回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。

（1）圆锥的投影 画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。

举例：如图3-4a所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水平面，图3-4b是它的投影图。圆锥的水平投影为一个圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。圆锥的正面、侧面投影均为等腰三角形，其底边均为圆锥底面的积聚投影。正面投影中三角形的两腰s＇a＇、s＇c＇分别表示圆锥面最左、最右轮廓素线SA、SC的投影，它们是圆锥面正面投影可见与不可见部分的分界线。SA、SC的水平投影sa、sc和横向中心线重合，侧面投影s″a″（c″）与轴线重合。同理可对侧面投影中三角形的两腰进行类似的分析。

图3-4 圆锥的投影

a）立体图 b）投影图

总结圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。

（2）圆锥面上点的投影

方法：1）辅助线法。(www.xing528.com)

2）辅助圆法。

举例：如图3-5、图3-6所示，已知圆锥表面上M的正面投影m＇，求作点M的其余两个投影。因为m＇可见，所以M必在前半个圆锥面的左边，故可判定点M的另两面投影均为可见。两种作图方法如下：

图3-5 用辅助线法在圆锥面上取点

a）立体图 b）投影图

图3-6 用辅助线法在圆锥面上取点

a）立体图 b）投影图

辅助线法：如图3-5a所示，过锥顶S和M作一直线SA，与底面交于点A，点M的各个投影必在此SA的相应投影上。在图3-6b中过m＇作s＇a＇，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的从属性质可知m必在sa上，求出水平投影m，再根据m、m＇可求出m″。

辅助圆法：如图3-6a所示，过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。在图3-6b中过m＇作水平线a＇b＇，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a＇b＇的圆，圆心为s，由m＇向下引垂线与此圆相交，且根据点M的可见性，即可求出m。然后再由m＇和m可求出m″。

3.圆球

圆球的表面是球面，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。

（1）圆球的投影 如图3-7a所示为圆球的立体图、如图3-7b所示为圆球的投影。圆球在三个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这三个圆分别表示三个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A（它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线）的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这三条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。

图3-7 圆球的投影

a）立体图 b）投影图

（2）圆球面上点的投影

方法：辅助圆法。

圆球面的投影没有积聚性，求作其表面上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。

举例：如图3-8a所示，已知球面上点M的水平投影，求作其余两个投影。过点M作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m的直线ab，正面投影为直径等于ab长度的圆。自m向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m可见，故点M必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m＇，再由m、m＇可求出m″，如图3-8b所示。

图3-8 圆球面上点的投影