平面与曲面立体相交，其截交线一般为封闭的平面曲线，或者是由曲线和直线围成的平面图形，特殊情况为平面多边形（直线）。
（一）平面与圆柱相交
圆柱被平面截切后所产生的截交线，因截平面与圆柱轴线的相对位置不同有3种情况：矩形、圆和椭圆，见表3-1。
表3-1 圆柱的截交线
因截交线为矩形和圆的情况为特殊情况，可直接作出。因此，本书着重讨论截交线为椭圆的情况。
图3-14（a）所示为圆柱被正垂面截切，其具体作图步骤如下。
1.分析
由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚为直线，其水平投影则与圆柱底面的投影（圆）重合。其侧面投影可根据投影规律和在圆柱面上取点的方法求出。
2.求点
（1）求特殊点：特殊点即截交线上的最高、最低、最前、最后、最左、最右以及转向轮廓线上的点。特别指出，转向轮廓线上的点一定要求。对于椭圆首先要找出长、短轴的4个端点。长轴的端点Ⅰ、Ⅴ（空间点标出，下同）是椭圆的最低点和最高点，位于圆柱面的最左和最右素线上。短轴的端点Ⅲ、Ⅶ是椭圆的最前点和最后点，分别位于圆柱面的最前和最后素线上。这些点的水平投影是1、5、3、7，正面投影是1′、5′、3′、7′，根据投影规律作出侧面投影1″、5″、3″、7″，根据这些特殊点即可确定截交线的大致范围。
（2）求一般点：可适当作出若干个一般点，如图3-14（a）中的Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ等点，可根据投影规律和圆柱面上取点的方法作出其各个投影。
3.连线
将所求各点的同面投影依次光滑地连接起来，可见点之间用粗实线连接，不可见点之间用细虚线连接，就得到截交线的投影。
4.整理圆柱外形轮廓线投影
如图3-14（a）所示，截平面对H面的倾角大于45°，因此侧面投影上椭圆的长轴与圆柱轴线平行。截平面对H面的倾角小于45°时，则侧面投影上椭圆的长轴与圆柱轴线垂直，如图3-14（b）所示。如截平面对H面的倾角等于45°，这时截交线的侧面投影为圆，其半径即为圆柱半径，如图3-14（c）所示。
图3-14 平面与圆柱相交
（二）平面与圆锥相交
圆锥被平面截切后所产生的截交线，因截平面与圆锥轴线的相对位置不同有下列几种情况，见表3-2。
图3-15所示为一正圆锥被正垂面截切，其作图步骤如下。
1.分析
截平面倾斜于圆锥轴线，截交线的正面投影积聚为直线，又因截平面与圆锥面所有素线都相交，所以截交线为椭圆，其水平投影和侧面投影通常亦为椭圆。由于圆锥前后对称，所以此椭圆也一定前后对称。水平投影椭圆的长轴方向在截平面与圆锥前后对称面的交线（正平线）上，其端点在最左、最右素线上，而短轴则是通过长轴中点垂直于长轴的正垂线。当截平面对H面的倾角小于45°时，侧面投影椭圆长轴的方向则与圆锥轴线相垂直，短轴投影在圆锥轴线上。
2.求点
（1）求特殊点：由截交线和圆锥面最左、最右素线正面投影的交点1′、2′可求出水平投影点1、2和侧面投影点1″、2″；点1′、2′、1、2、1″、2″就是椭圆长轴端点的三面投影。取1′2′线段中点，即为正面投影中有积聚性的椭圆短轴端点3′（4′）。在正面投影中，过点3′（4′）按圆锥面上取点的方法作辅助圆，作出该圆的水平投影，根据投影关系求得点3、4及点3″、4″。而点3′、4′、3、4、3″、4″为椭圆短轴端点的三面投影。
（2）求一般点：为了准确地画出截交线，须适当找出若干个一般点，如水平投影5、6、7、8对应的4个点。特别注意，5、6对应的点也是圆锥面上最前、最后素线上的点。
3.连线
依次连接各点的同面投影，即得截交线的水平投影与侧面投影。
图3-16所示为一正圆锥被一侧平面所截切。其作图步骤如下。
图3-15 正垂面与圆锥相交
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图3-16 侧平面与圆锥相交
1.分析
由于截平面平行于圆锥轴线，所以截交线在圆锥面上为双曲线。它的水平投影与正面投影均积聚为一直线，要求作的是截交线的侧面投影。
2.求点
（1）求特殊点：截平面与正面轮廓线的交点Ⅰ（投影1、1′、1″对应的点，下同）是双曲线的最高点，截平面与圆锥底圆的交点Ⅱ、Ⅲ是最低点，这些点的投影都可直接作出。
（2）求一般点：一般点可先在截交线的已知投影上选取其投影，然后过点在圆锥面上作辅助线（素线或纬圆）求出其他投影。图3-16中用素线法求出两个一般点Ⅵ、Ⅴ的三面投影。同理，可作出其他一般点。
3.连线
依次光滑地连接各点的侧面投影，即得截交线的侧面投影。
（三）平面与球相交
从表3-3中可知，平面与球相交，其截交线都是圆。但由于截平面与球体相交的位置不同，其截交线的投影也不同。
表3-3 球的截交线
图3-17 平面与圆球相交
图3-17所示为一球被正垂面截切，作图步骤如下。
1.分析
因为球被正垂面截切，所以截交线的正面投影积聚为直线，且其长度等于截交线圆的直径，水平投影和侧面投影均为椭圆。
2.求点
先作水平投影，确定椭圆长、短轴的端点。圆的水平直径ⅢⅣ平行于水平投影面，其水平投影线段34为椭圆的长轴，与ⅢⅣ垂直的直径ⅠⅡ对水平面的倾角最大，其水平投影线段12为椭圆的短轴。再求出球水平投影转向轮廓线上的点Ⅴ、Ⅵ和球侧面投影转向轮廓线上的点Ⅶ、Ⅷ。
3.连线
将上述各点的水平投影依次平滑连接起来，即为截交线的水平投影。
同理可作出截交线的侧面投影。
（四）平面与环面相交
如图3-18（a）所示为正平面P与圆弧回转面（部分内环面）相交，作图步骤如下。
1.分析
由于截平面与环面轴线平行，所以截交线在环面上为四次曲线，它的正面投影亦为四次曲线，其水平投影积聚为直线。因此，根据截交线的性质，要求作的截交线在它的正面投影上。
2.求点
（1）求特殊点：根据在回转面上取点的方法，圆弧回转面上的纬圆与截平面的切点Ⅰ是截交线的最高点。作图时，先作出这个纬圆的水平投影，使它与截平面P的水平投影相切于点1，然后作出该纬圆的正面投影和最高点的正面投影1′；截平面与圆环回转面底面的交点Ⅱ、Ⅲ是截交线的最低点，可由2、3直接作出2′、3′。
（2）求一般点：如在最高点和最低点之间利用辅助纬圆法适当作一些一般点，如点Ⅳ、Ⅴ。
3.连线
将所求各点的正面投影依次光滑连线，即得截交线的正面投影，如图3-18（b）所示。
图3-18 平面与内环面相交
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