点的投影在三投影面体系中的位置

1.点的三面投影图

如图2-9（a）所示，在两投影面体系上再加上一个与H、V均垂直的投影面，使它处于侧立位置，称为侧面投影面，用W表示，简称W面。这样3个互相垂直的H、V、W面就组成了一个三投影面体系。H、W面的交线OY称为Y投影轴，简称Y轴；V、W面的交线OZ称为Z投影轴，简称Z轴，3个投影轴的交点O称为原点。

设空间一点A分别向H、V、W面进行投影得a、a′、a″。a″称为点A的侧面投影（现规定空间点A、B、C等在侧面投影面上的投影以小写字母在右上角加两撇表示，如a″、b″、c″等）。将H、W面分别按图2-9（a）所示箭头方向旋转，使与V面重合，即得点的三面投影图，如图2-9（b）所示。其中Y轴随H面旋转时，以YH表示；随W面旋转时，以YW表示。通常在投影图上只画出投影轴，不画出投影面的边界；因此图2-9（c）就是点A在三面投影体系中的投影图。

图2-9　点在三投影面体系中的投影

2.点的直角坐标与三面投影的关系

如把三投影面体系看作空间直角坐标体系，则H、V、W面即为坐标面，X、Y、Z轴即为坐标轴，点O即为坐标原点。由图2-9可知，点A的3个直角坐标XA、YA、ZA即为点A到3个坐标面的距离，它们与点A的投影a、a′、a″的关系如下：

Aa″＝aay＝a′az＝Oax＝XA

Aa′＝aax＝a″az＝Oay＝YA

Aa＝a′ax＝a″ay＝Oaz＝ZA

由此可见：a由Oax和Oay确定，即由A点的XA、YA两坐标确定；a′由Oax和Oaz确定，即由A点的XA、ZA两坐标确定；a″由Oay和Oaz确定，即由点A的YA、ZA两坐标确定。

所以空间点A（XA，YA，ZA）在三投影面体系中有唯一的一组投影（a、a′、a″）；反之，如已知A点的一组投影（a、a′、a″），即可确定该点在空间的坐标值。

3.三投影面体系中点的投影规律

根据以上分析及两投影面体系中点的投影规律，可以得出三投影面体系中点的投影规律如下。

（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴。这两个投影都同时反映空间点的X坐标，即

a′a⊥X轴，a′az＝aaYH＝XA

（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴。这两个投影都同时反映空间点的Z坐标，即

a′a″⊥Z轴，a′ax＝a″aYW＝ZA

（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。这两个投影都同时反映空间点的Y坐标，即(www.xing528.com)

aax＝a″az＝YA

如图2-9（c）所示，由于OaYH＝OaYW，作图时可过点O作∠YHOYW的角平分线，从a引X轴的平行线与角平分线相交于a0，再从a0引YW轴的垂线与从a′引Z轴的垂线相交，其交点即为a″。

根据点的投影规律，可由点的3个坐标值画出其三面投影图，也可根据点的2个投影作出第三投影。

例2-1　已知点A的坐标（15，10，20），作出其三面投影图。

分析：由A（15，10，20）可知点A与3个投影面均有距离，3个投影都不在投影轴上。

作图：如图2-10所示。

（1）在OX轴上取Oax＝15；

（2）过ax作aa′⊥OX轴，并使aax＝10，a′ax＝20；

（3）过a′作a′a″⊥OZ轴，并使a″az＝aax。a、a′、a″即为所求点A的三面投影。

图2-10　已知点的坐标求点的三面投影

例2-2　在图2-11中，已知B点的2个投影b′、b″，求出其第三投影b。

分析：由于已知点B的正面投影b′和侧面投影b″，则点B的空间位置可以确定，由此可以作出其水平投影b。由点的投影规律，可有如下的作图步骤。

作图：（1）自b′作b′b⊥OX轴；

（2）自b″作b″1⊥OYW轴，并延长与45°作图线交于点1；

（3）过点1作1b⊥OYH轴，使与b′b交于b，b即为所求。

图2-11　已知b′、b″求b