点的投影在两个面体系中的应用

图2-8（a）为空间两个互相垂直的投影面。其中处于正面直立的投影面称为正面投影面，用V来表示，简称V面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，用H来表示，简称H面，由V面和H面所组成的体系称为两投影面体系。V面和H面的交线OX称为X投影轴，简称X轴。

1.点的两面投影图

如图2-8（a）所示，过空间一点A向H面作垂线，其垂足就是点A在H面上的投影，称为点A的水平投影，以a表示。再由点A向V面作垂线，其垂足就是点A在V面上的投影，称为点A的正面投影，以a′表示。以此类推，规定：空间点用A、B、C等大写字母表示；水平投影用相应的小写字母a、b、c等表示；正面投影用相应的小写字母在右上角加一撇a′、b′、c′等表示。

图2-8　点在两投影面体系中的投影

为了便于实际应用，还需要把位于两个互相垂直的投影面内的投影展开到一个平面内。规定V面保持不动，将H面绕X轴向下旋转90°，使之与V面重合（即处于同一平面位置上），得到了点的两面投影图，如图2-8（b）所示。因为投影面可根据需要扩大，所以通常不必画出投影面的边界。因此，图2-8（c）就是点A在两面投影体系中的投影图。(www.xing528.com)

反之，若有了点A的正面投影a′和水平投影a，就可确定该点的空间位置。可以想象：图2-8（c）中X轴上的V面保持直立位置，将X轴以下的H面绕X轴向上转90°呈水平位置，再分别过a′、a作V、H投影面的垂线，相交即得空间点A，从而唯一地确定了该点的空间位置。

2.两面投影图中点的投影规律

由图2-8（a）可知，Aaaxa′是个矩形，即Aa′＝aax，Aa＝a′ax；a′ax⊥X轴，aax⊥X轴，H面经旋转后，a、a′的连线aa′一定垂直于X轴，如图2-8（b）、（c）所示。由此可得出点的投影规律：

（1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于X轴，即aa′⊥X轴；

（2）点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离，即aax＝Aa′；

（3）点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离，即a′ax＝Aa。