如何进行复合形法的迭代优化？

图7-8 构成初始复合形的几何描述

1）构成初始复合形。

2）计算各顶点的函数值。其中好点记为X^（L），坏点记为X^（H）。

X^（L）：F（X^（L））=min{F（X^（j）），j=1，2，…，k}

X^（H）：F（X^（H））=max{F（X^（j）），j=1，2，…，k}

3）计算除坏点外其余各顶点的中心点X₀。

4）计算映射点X^（R）。

X^（R）=X₀+α（X₀-X^（H））

通常取α=1.3，并要检查X^（R）是否在可行域内，若X^（R）为非可行点，将映射系数减半后再按上式改变映射点，直到X^（R）进入可行域为止。

5）构成新复合形。计算映射点的目标函数值F（X^（R）），可能有两种情况：

①映射点优于坏点，即

F（X^（R））＜F（X^（H））在这种情况下，则用X（R）代替X（H），从而构成新的复合形。

②映射点劣于坏点，即

F（X^（R））＞F（X^（H））

这种情况往往是由于映射点过远引起的，可用减半映射系数的办法把映射点拉近些，若有(www.xing528.com)

F（X^（R））＜F（X^（H）），则又转化为情况①。

但也有可能经过多次映射系数减半，直到其已小于预先给定的δ（例如δ=10^-5）时仍不能使映射点优于坏点，则说明映射方向不对。此时，应改变映射方向取次坏点X^（SH）的映射。

X^（SH）：F（X^（SH））=max{F（X^（j）），j=1，2，…，k，j≠H}

确定不包括次坏点X^（SH）在内的复合形顶点的中心点X₀，并以此为映射轴心，计算X^（SH）的映射点X^（R）：

X^（R）=X₀+α（X₀-X（^SH））

重新判断目标函数值F（X^（R）），依情况构成新的复合形。

6）判别终止条件。当每一个新复合形构成之时，就用终止迭代的条件来判别是否结束迭代。由于在复合形逼近最优解的过程中，映射系数不断减半，复合形不断缩小，即各复合形各顶点之间的距离在逐渐地缩短。当复合形缩得很小时，各顶点的目标函数值必然十分近于相等。因此可用如下形式之一作为终止判据：

①各顶点与好点的函数值之差的均方根值小于误差值。

②好点与坏点的函数值之差的绝对值小于误差值，或者好、坏点函数值相对误差的绝对值小于误差值。

如果满足终止条件，可将最后的复合形好点X^（L）及其函数值F（X^（L））作为最优解输出，并结束运算。如果不满足终止条件，则返回步骤3）继续下一次迭代。

复合形法迭代过程如图7-9所示。

复合形法在解决约束优化问题上是一种效果较好的方法。它对目标函数和约束函数都没有特殊的要求，适用范围较广，程序编写也比较简单。但是，这种方法的收敛速度较慢，特别是当目标函数的维数较高和约束条件的数目增多时，这一缺点显得尤为突出。

图7-9 复合形法迭代过程框图