由于机构优化设计方法是建立在数学解析法的基础上的，因此在设计过程中首先要把机构设计问题转化为数学问题，建立数学模型。机构优化设计的数学模型包括三个组成部分：一是需要求解的一组参数，设计者把这些参数作为变量处理，称为设计变量；二是需要达到的用设计变量表达的一个或若干个设计的目标，这个（些）目标称为目标函数；三是若干个必需的限制条件，而设计变量的选择和某些预先提出的要求必须满足这些限制条件，称为设计约束或约束条件。按照具体设计问题而拟定的设计变量、目标函数和约束条件的总体就组成了优化设计的数学模型。若目标函数和约束函数均为线性的，该优化问题属于线性规划问题。如果目标函数和约束函数中至少有一个是非线性时，该优化问题称为非线性规划问题。一般机构优化设计问题的目标函数多属于非线性函数，因此多是非线性规划问题。
1.目标函数
用来评价多个设计方案优劣并以设计参数为自变量的一个函数表达式，称为目标函数或评价函数。优化设计问题的目标函数，是根据设计要求并借助于设计对象本身的数学表达式而建立的某种设计准则。根据不同设计问题的不同要求，设计准则可以是结构性能的（如体积最小、重量最轻），也可以是某种运动学或动力学特性的（如速度波动最小、轨迹再现精度最高等）。
由于最优化设计问题是要在许多可行设计方案中取得最优方案，亦即使以目标函数形式表示的设计准则取得最优值。而最优的概念虽然含义清楚，但又比较抽象，含义太广，不利于用通常的数学方法表示。可将设计问题的具体要求变换为求极小值这样比较具体、便于用数学方法表示的概念。实际上，所谓设计或评价一切事物的优劣，总可以通过求某种指标的极小值来等效表示。例如设计一个四杆机构使其能最优再现给定轨迹，可以将该设计目标表示成给定轨迹与设计对象再现的轨迹差值最小这样一个求极小值的问题，而这样一个设计目标可以很方便地用数学方法表示。因此按照规范化的形式，都把优化问题归结为求目标函数的极小值问题，即目标函数值越小设计方案越优。对于某些目标函数值极大的问题可以转化为求其负值极小或倒数极小的问题。因此，都把优化问题描述为目标函数的极小化问题。其一般形式为
minF（X）X=（x1x2…xn）T （7-1）
根据一项设计准则建立的目标函数称为单目标函数。但是有些设计问题所追求的目标不止一个，可能要求几个目标同时达到最优。这时，首先应将几个目标分别建立起分目标函数fi（X），然后将几个分目标函数合成为一个统一的目标函数F（X），称为多目标函数。
F（X）=W1f1（X）+W2f2（X）+…+WLfL（X） （7-2）
式中，Wi为加权因子；L为分目标函数的个数。加权因子的作用为：①调整各单项目标在数量级上的差异，以获得较好的优化效果；②调整各项准则目标的重要程度以突出主要目标。加权值可由设计者根据经验或通过计算摸索取值。此外，不同目标函数的量纲也可能不同，因此在建立总目标函数时，要首先将各分目标函数量纲一化，然后再组合。
2.设计变量
机构设计方案的优化问题可以用一组参数来表示。对优化设计问题目标函数有影响的参数可能有很多，但有时却不可能把所有对目标函数有影响的参数都作为待设计的参数对待，而是经过分析，把那些次要的、对设计目标影响不明显或根据工艺要求或比较成熟的经验可预先给定的参数，作为常数处理，这些预先给定的设计参数称为设计常量。而把那些最基本的、对设计目标影响较大的参数选作待设计的可变参数。在这些可变参数中，有些参数与另外的参数之间有一定的依赖关系，它们虽为变量但并非独立的，称为非独立变量。而优化设计中的设计变量是设计者以变量处理的独立参数。目标函数是设计变量的函数。具体设计中取哪些变量作为非独立变量和设计变量由设计者根据计算需要和本身的设计经验人为加以选择。
n个实数的设计变量x1，x2，…，xn可用数列表示，简化记为具有n个分量的矢量或点X，即
当X的分量x1，x2，…，xn被定为一组特定值时，即代表一个设计方案。矢量X内含的设计变量数目称为该优化问题的维数。两个设计变量的二维设计问题，其矢量X表示平面上的一个点，即二维平面矢量；三维矢量X表示空间的一个点，即三维空间矢量；当n＞3时，X为超越空间矢量。因此式（7-3）数列中的每一元素取值后看成n维空间的某点。则该数列各元素的一组对应值即表示以坐标原点为起点的一个矢量。矢量端点即该n维设计变量的坐标值，矢量端点称为设计点。k个设计方案对应于k个设计矢量或设计点。
设计点的集合称为设计空间，由于工程设计中的设计变量都属实数，所以称这种设计空间为实欧氏空间。设计空间是所有设计方案的集合，若用符号Rn表示n维实欧氏空间，则用集合概念可写为
X∈Rn （7-4）
对于二维优化问题，空间R2是一个平面；对于三维优化问题，空间R3就是立体空间；若维数n＞3，则Rn就是一个抽象的超越空间。
一个设计问题的设计变量数就是设计问题的维数，它象征着设计的自由度。设计变量越多，则设计的自由度越大，就越有利于寻找最理想的设计方案，也越容易达到要求的精度，但设计变量越多，问题也就越复杂，计算过程也越复杂。因此在机构设计中，原则上应该尽可能减少设计变量的数目，但同时应考虑必要的设计精度。
优化过程开始时所选定的设计变量以X（0）表示，称为初始点。使目标函数F（X）达到最小时设计变量以X*表示，称为最优点，即该设计优化方案的设计变量值。最优点处的目标函数值F*称为最优值，F*=F（X*）。通常把最优点X*和最优值F*称为最优解。应该指出，最优解通常是指在多种限制因素下令人满意的最适宜、最恰当的值，它包含了人为的意图与目的。不同的限制因素的最优解也是不同的。
3.约束条件（设计约束）
设计空间内所有点的坐标都是设计方案，但并不都是最好的方案，而且也并不都是可行的方案。其中有些方案明显不合理，有些方案从设计目标的角度看虽好，但它所对应的设计变量可能明显不合理，或违背设计提出的条件，例如连杆机构中的杆长小于零、等于零或不适当地过长。有些方案可能违背机械的某种工作性能，如按一组设计变量组成的机构，其压力角过大，使力的传递效果变坏等。为了使设计达到能满足各方面要求的最优方案，在优化过程中需要提出一些必要的条件，以便对设计变量加以限制。这些对设计变量的选择及某些辅助设计条件限制的条件称为设计约束或约束条件。同目标函数一样，约束条件也是设计变量的函数。
根据约束条件的性质，可以将约束条件分为几何约束（包括边界约束）和性能约束两种。
几何约束是指根据某种设计要求，设计变量必须满足的某些几何条件以及对设计变量的取值范围加以限制的约束条件。在对目标函数求优过程中，为了不致使设计变量的值出现明显不合理的情况，必须对设计变量的取值范围加以限制。例如设计连杆机构时，每个杆长均不能小于或等于零，或者大于一定值。杆长的约束就是边界约束，有些设计问题，除上述边界约束外，还可能对设计变量某种特殊的几何条件提出约束要求，例如，利用铰链多杆机构设计仿生手指机构时，要求其中的四杆机构始终呈交叉封闭状态，这时就要根据交叉的几何条件建立约束函数。
在对目标函数的求优过程中，除有上述几何约束外，还常需对机构的某些性能提出必要的限制，即对所设计的方案在满足设计目标的情况下，还要求必须满足某些特定的工作性能。例如，根据再现运动规律设计连杆机构时，为了使所设计的机构方案成为曲柄摇杆机构，在优化过程中需要对所设计的机构尺寸提出满足曲柄存在的条件，如不施加这一限制条件，所设计的机构方案虽能再现给定运动规律，但不一定能形成曲柄摇杆机构，而可能是双摇杆机构。此外，除了机构的这种运动性能约束外，还有机构的动力学性能方面的约束，如机构最小传动角限制等。
根据约束条件的表现形式不同，约束条件又分为不等式约束和等式约束两种。若约束条件以不等式形式出现
Gu（X）≥0 （u=1，2，…，z） （7-5）
则称为不等式约束。
若以等式形式出现
Hv（X）=0 （v=1，2，…，p） （7-6）
则称为等式约束。
式中，z、p分别为不等式约束条件数和等式约束条件数。
等式约束条件Hv（X）=0的通常处理方法有：①直接法——按等式约束条件直接计算；
②间接法——用ε≥Hv（X）≥-ε（ε是给定的较小正数）代替Hv（X）=0，按不等式约束条件进行优化。而机构优化设计一般多采用不等式约束。
带有设计约束的优化问题称为约束优化问题，反之则称为无约束优化问题。在机构设计中一般均为约束优化问题。
4.优化设计数学模型表达式
当建立起设计问题的目标函数并确定了设计变量和约束函数之后，即可建立完整的优化设计数学模型。数学模型一般形式为(www.xing528.com)
当X的分量x1，x2，…，xn被定为一组特定值时，即代表一个设计方案。矢量X内含的设计变量数目称为该优化问题的维数。两个设计变量的二维设计问题，其矢量X表示平面上的一个点，即二维平面矢量；三维矢量X表示空间的一个点，即三维空间矢量；当n＞3时，X为超越空间矢量。因此式（7-3）数列中的每一元素取值后看成n维空间的某点。则该数列各元素的一组对应值即表示以坐标原点为起点的一个矢量。矢量端点即该n维设计变量的坐标值，矢量端点称为设计点。k个设计方案对应于k个设计矢量或设计点。
设计点的集合称为设计空间，由于工程设计中的设计变量都属实数，所以称这种设计空间为实欧氏空间。设计空间是所有设计方案的集合，若用符号Rn表示n维实欧氏空间，则用集合概念可写为
X∈Rn （7-4）
对于二维优化问题，空间R2是一个平面；对于三维优化问题，空间R3就是立体空间；若维数n＞3，则Rn就是一个抽象的超越空间。
一个设计问题的设计变量数就是设计问题的维数，它象征着设计的自由度。设计变量越多，则设计的自由度越大，就越有利于寻找最理想的设计方案，也越容易达到要求的精度，但设计变量越多，问题也就越复杂，计算过程也越复杂。因此在机构设计中，原则上应该尽可能减少设计变量的数目，但同时应考虑必要的设计精度。
优化过程开始时所选定的设计变量以X（0）表示，称为初始点。使目标函数F（X）达到最小时设计变量以X*表示，称为最优点，即该设计优化方案的设计变量值。最优点处的目标函数值F*称为最优值，F*=F（X*）。通常把最优点X*和最优值F*称为最优解。应该指出，最优解通常是指在多种限制因素下令人满意的最适宜、最恰当的值，它包含了人为的意图与目的。不同的限制因素的最优解也是不同的。
3.约束条件（设计约束）
设计空间内所有点的坐标都是设计方案，但并不都是最好的方案，而且也并不都是可行的方案。其中有些方案明显不合理，有些方案从设计目标的角度看虽好，但它所对应的设计变量可能明显不合理，或违背设计提出的条件，例如连杆机构中的杆长小于零、等于零或不适当地过长。有些方案可能违背机械的某种工作性能，如按一组设计变量组成的机构，其压力角过大，使力的传递效果变坏等。为了使设计达到能满足各方面要求的最优方案，在优化过程中需要提出一些必要的条件，以便对设计变量加以限制。这些对设计变量的选择及某些辅助设计条件限制的条件称为设计约束或约束条件。同目标函数一样，约束条件也是设计变量的函数。
根据约束条件的性质，可以将约束条件分为几何约束（包括边界约束）和性能约束两种。
几何约束是指根据某种设计要求，设计变量必须满足的某些几何条件以及对设计变量的取值范围加以限制的约束条件。在对目标函数求优过程中，为了不致使设计变量的值出现明显不合理的情况，必须对设计变量的取值范围加以限制。例如设计连杆机构时，每个杆长均不能小于或等于零，或者大于一定值。杆长的约束就是边界约束，有些设计问题，除上述边界约束外，还可能对设计变量某种特殊的几何条件提出约束要求，例如，利用铰链多杆机构设计仿生手指机构时，要求其中的四杆机构始终呈交叉封闭状态，这时就要根据交叉的几何条件建立约束函数。
在对目标函数的求优过程中，除有上述几何约束外，还常需对机构的某些性能提出必要的限制，即对所设计的方案在满足设计目标的情况下，还要求必须满足某些特定的工作性能。例如，根据再现运动规律设计连杆机构时，为了使所设计的机构方案成为曲柄摇杆机构，在优化过程中需要对所设计的机构尺寸提出满足曲柄存在的条件，如不施加这一限制条件，所设计的机构方案虽能再现给定运动规律，但不一定能形成曲柄摇杆机构，而可能是双摇杆机构。此外，除了机构的这种运动性能约束外，还有机构的动力学性能方面的约束，如机构最小传动角限制等。
根据约束条件的表现形式不同，约束条件又分为不等式约束和等式约束两种。若约束条件以不等式形式出现
Gu（X）≥0 （u=1，2，…，z） （7-5）
则称为不等式约束。
若以等式形式出现
Hv（X）=0 （v=1，2，…，p） （7-6）
则称为等式约束。
式中，z、p分别为不等式约束条件数和等式约束条件数。
等式约束条件Hv（X）=0的通常处理方法有：①直接法——按等式约束条件直接计算；
②间接法——用ε≥Hv（X）≥-ε（ε是给定的较小正数）代替Hv（X）=0，按不等式约束条件进行优化。而机构优化设计一般多采用不等式约束。
带有设计约束的优化问题称为约束优化问题，反之则称为无约束优化问题。在机构设计中一般均为约束优化问题。
4.优化设计数学模型表达式
当建立起设计问题的目标函数并确定了设计变量和约束函数之后，即可建立完整的优化设计数学模型。数学模型一般形式为
式中，s.t.是英文“subject to”的字头，意为“受约束于”。
式（7-7）称为优化设计的数学模型，它表示：所设计问题有n个设计变量X=（x1x2…xn）T，这n个设计变量属于n维矢量空间Rn，要求在满足z个不等式约束条件和p个等式约束条件下，求目标函数F（X）以极小形式表示的最优解。
式（7-7）所表达的最优化设计问题称为约束优化问题。如果模型中不含约束条件，即
minF（X）X=（x1x2…xn）T （7-8）
则称这类设计问题为无约束优化问题。
式中，s.t.是英文“subject to”的字头，意为“受约束于”。
式（7-7）称为优化设计的数学模型，它表示：所设计问题有n个设计变量X=（x1x2…xn）T，这n个设计变量属于n维矢量空间Rn，要求在满足z个不等式约束条件和p个等式约束条件下，求目标函数F（X）以极小形式表示的最优解。
式（7-7）所表达的最优化设计问题称为约束优化问题。如果模型中不含约束条件，即
minF（X）X=（x1x2…xn）T （7-8）
则称这类设计问题为无约束优化问题。
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