5.3.1 现金流量图
为了便于分析资金的收支情况，避免计算时发生错误，经常采用现金流量图，以直观地表现现金的流入和流出的情况。
现金流量图是将资金作为时间的函数，并用图形表示出来，如图1.7为现金流量图的一般形式。
图1.7 现金流量图
图中：i为年利率；n为复利计息期数，一般以年为单位；P为现值；F为将来值（终值）
图1.7中横线表示时间（年数或期数），它指向右方，代表时间的增长，以n表示。它以每一时间区间终点来标示。例如n=1就是指第1时间区间（第一年或第1个月）的终点，可以理解为第1年的末，也可以理解为第2年的1月1日。横轴的零点则指现在时刻，也可理解为每一系统的分析期都假定以n=0年开始。垂直线表示系统的收支金额，收入为正，箭头向上；支出为负，箭头向下。另外，还假定现金的支付都发生的每期的期末（或一年之末），而不是在期初或期间。
【例1.7】 某工程，准备在两年后开始连续投资3年，其投资额分别为P1、P2、P3，并计划在第6年开始的9年中，前3年每年收入为A1，后6年每年的收益为A2，年利率为10%，试绘其现金流量图如图1.8所示。
图1.8 例1.7现金流量图
5.3.2 资金等值计算公式（或动态计算）
在考虑资金时间价值的情况下，不同时间发生的收入或支出，其数值不能直接相加减，只能通过资金的等值计算将它们换算到同一时间上进行分析计算，这就是所谓的动态计算。最常用的有下面几类公式。
5.3.2.1 一次支付公式（设利率i为已知，计息期数为n）
在图1.9中，如果已知P求F，可由式（1.32）确定，即F=P（1+i）n；如果已知F，求现值P，这实际上为贴现计算，即P=F（1+i）-n。
为了便于应用，实际计算时是通过查表计算来完成的。一般是用一种规格化的符号来表示（1+i）n，或者（1+i）-n等，其形式为（X/Y，i，n），括号中X代表要求的数，Y代表已知数，X/Y即已知Y求X，于是有：
式（1.36）、式（1.37）中，（1+i）n和（F/P，i，n）称为复利因子。（1+i）-n或（P/F，i，n）称为贴现系数，其中i称为贴现率。
计算时查附录（一）即可。
图1.9 一次支付现金流量图
5.3.2.2 等额多次支付公式
等额多次支付是指现金流入和流出在多个时点上发生，且金额都相等。其现金流量图如图1.10所示。
图1.10 等额支付现金流量图
因为第一年末投资A可得到（n-1）年的利息，第K年末投资的A可得到（n-K）年的利息，而第n年末投资的A无利息，则有：
两边各乘以（1+i）得：
式（1.38）与式（1.39）相减得：
所以有
或
式（1.41）、式（1.42）中，（A/F，i，n），（F/A，i，n）分别称为偿还基金因子和年金终值因子。查复利表附录可得。式（1.41）中的A工程中亦可记为NAV。
5.3.2.3 资金回收公式
设现金流量图1.11中的i，P为已知，所以问题归结为在n年内每年末均匀提取多少元（A），使得到n年末可将投资P全部收回。由式（1.36）和式（1.41）则有：
图1.11 资金回收现金流量图
式（1.43），式（1.44）中，（A/P，i，n）为资金回收因子，（P/A，i，n）为年金现值因子，均由复利表查得其值。
5.3.2.4 应用
式（1.36）～式（1.44）是动态经济分析中的最基本公式。此六大公式均是通过六个因子（复利本利因子，现值因子，偿还基金因子等），将P、F、A联系起来的，六个因子的关系及P、F、A发生的时点可用图1.12表示。利用该图即可将各因子之间的关系及前述的一些应用条件搞清楚。
应用六个公式时应注意公式的适用条件
图1.12 六因子关系图
或如下：
1）全部公式均是假设在年末进行支付的，现值P是当前年度开始时发生的；将来值F永远是第n年末发生的。
2）在使用（P/A，i，n）或（F/A，i，n）时，所求的现值永远是位于第一个A值的前一年，本年的年末即为下一年的年初。
3）当所解决现金流量不符合上述条件，要先换算成符合上述条件后，然后方可应用上述的基本公式。
应用举例
【例1.8】 某公司拟建一新的工程项目，需借款1000万元，利率为i=8%，投资后的4年内还清此笔借款。问平均每年应获利多少才能满足要求？
解：（1）绘现金流量图如图1.13所示。
图1.13 现金流量图
（2）分析计算
由现金流量图知，本题属资金回收问题，所以由式（1.43）有：
A=P×（A/P，i，n）=1000（A/P，8%，4）（查复利表后）
=1000×0.302=302（万元）
即平均每年需获利302万元，才能在n=4年内收回p=1000万元的投资。
【例1.9】 某建筑工程以贷款筹资。现在投资10万元，第5年初投资15万元，第10年初投资20万元，欲在15年内每年等额偿还债款，则每年末应偿还多少？设利率为8%，试将上述几笔投资折算到n=0（第1年初）时的现值和n=15年末时的将来值各为若干？（每年的收益值用来还贷）
解：（1）绘现金流量图如图1.14所示。
图1.14 现金流量图
（2）分析计算
求每年末应偿还金额A时，可用两种方法求解。
现值法：即先将各笔投资折算到n=0时的现值，然后再按已知P，i，n的条件下求A。
因为
P=10+15（P/F，8%，5）+20（P/F，8%，10）
=10+15+0.6806+20×0.4632=29.5（万元）
所以
A=P（A/P，8%，15）=29.5×0.11683
=3.44（万元）
将来值法：即先将各投资金额折算到n=15年末时的终值，然后再按已知F，I，n的条件下，求A。
因为
F=10（F/P，8%，15）+15（P/F，8%，10）+20（P/F，8%，5）
=10×3.1172+15×2.159+20×1.4
=93（万元）
所以
A=F（A/F，8%，15）=93×0.368=3.44（万元）
【例1.10】 已知现金流量图如图1.15所示，考虑资金的时间价值以后，总现金流出等于现金流入，试利用各种资金等值计算系数，用已知项表示未知项，设利率为i。
图1.15
解：（1）已知F1、F2、A，求P
P=F1（P/F，i，4）+F2（P/F，i，10）-A（P/A，i，6）（P/F，i，4）
（2）已知F1、F2、P，求A。
将P，F1，F2折算到n=4时的现值P′，然后再求A，即：
A=[F1+F2（P/F，i，6）-P（F/P，i，4）]（P/A，i，6）-1
（3）已知P、F2、A，求F1
F1=P（F/P，i，4）+A（P/A，i，6）-F2（P/F，i，6）
【例1.11】 某建筑公司欲建商业用宅出租，需购置土地，支付办法是分期付款保证金为600万元，（现时点支付），余款在第一个五年内每半年支付40万元，第二年五年内每半年支付60万元，第三个五年内每半年支付80万元，资本利率（按半年复利）为4%，设工程工期为三年，第五年初受益，每年租金收入为400万元，以支付保证金时为标准，问该公司在付完最后一笔款项时，能否全部收回投资（年收益率为10%）。
解：（1）绘现金流量图如图1.16示（单位：万元；i=4%；半年复利）。
图1.16
（2）分析计算
欲知能否全部收回投资，可先将逐年投资和收益值分别折算到n=0点时的现值，然后再进行比较。
1）逐年付款折算到0点的现值为：
P1=600+A1（P/A，4%，10）+A2（P/A，4%，10）（P/F，4%，10）+A3（P/A，4%，10）（P/F，4%，20）
=600+40×8.111+60×8.111×0.6765+80×8.111×0.4564(www.xing528.com)
=1549.4（万元）
2）而收益值折算到0年的现值为：
P2=A4[P/A，10%，11][P/F，10，4]
=400×6.495×0.683
=1774.434（万元）
因为P1＜P2，所以知到付完最后一笔款项时，能收回全部投资。值得指出的是，在具体计算时，只要所处理的经济问题的现金流图符合前述的假定条件，均可按具体情况灵活掌握。例如本题对于求P1，也可按下述解法时进行：
P1=600+40（P/A，4%，30）+20（P/A，4%，20）×（P/A，4%，10）+20（P/A，4%，10）×（P/F，4%，20）
=600+40×17.292+20×13.59×0.6756+20×8.111×0.4564=1549.4（万元）
或者P1=600+80×（P/A，4%，30）-20（P/A，4%，20）-20（P/A，4%，10）
=600+80×17.292-20×13.59-20×8.111
=1549.4（万元）
可见结果是一致的。
5.3.2.5 定差变额公式
在工程经济分析中，有些费用或收益是逐年变化的，而这种变化有一定的规律性即成等额增加或递减（如图1.17所示），现将这类问题的公式推导如下。
图1.17
（1）已知G，求F 如图可知，因为这一系列等差收入（或支出）可视为（n-1）个独立的计息期分别为：
（n-1），（n-2），…，3，2，1的等额多次支付（或收入），年金A=G，所以可利用年金复本利和公式：
求其终值F，即：
令
式（1.47）与式（1.46）相减得：
代入式（1.45）后有：
（2）已知G，求现值P
将公式P=F（1+i）-n代入式（1.48）后有：
（3）已知G，求年金A
因为已知
，且F=P（1+i）n，P=G（P/G，i，n），所以有：
在应用上述公式求解经济问题时，应注意以下几点：
1）P总是发生第一年年初，F永远在第各年年末，而A则是发生在各年的年末。
2）当所有研究问题的现金流图与图1.15不符合时，应进行换算处理，否则不能直接套公式计算。
3）如果定差成递减数列（定差为负值），其计算方法没有区别仅将定差取负值代入式（1.48）、式（1.49）中即可。
【例1.12】 某项目投产后的第一年收益5万元，第二年为10万元，第三年为15万元，以后的10年内每年的收益达到稳定值17万元，设收益率i=6%，试求与这一效益流程等价的现值P（折算到第一年初）
解：（1）绘出现金流量图如图1.18示。
（2）分析计算：为了能与图1.18符合，可将图1.18分解为三个现金流量图如图1.19示，所以所求现值P为PG、PA1、PA三个现值之和，即：
P=PG+PA1+PA
而
图1.18 单位：（万元）
故
P=PG+PA1+PA=12.85+1.365+119.33=145.545（万元）
【例1.13】 某建筑项目建设期达10年，其投资费用逐年增加为一个等差递增系列，如图1.20示，G=100万元，i=10%，n=10，求在整个建设期内总投资折算到期初的现值，和期末的终值。
图1.19
图1.20
解：因为第一年末的投资额达100万元，与等差变额系列数模不同，所以可先进行如图1.19的分解，即A=100万元的分期等付系列与G=100万元的等差系列。
（1）已知A=100万元，n=10（年），i=10%，则：
PA=A（P/A，10%，10）=100×6.144=614.4（万元）
（2）已知G=100万元，n=10，i=10%，则：
故
P=PA+PG=2903.66万元
（3）已知A=100万元，i=10%，G=100万元，n=10，则：
故
FA+FG=7530.7（万元）
【例1.14】 试求如图1.21（a）中递减定差数列之现值，折算到n=0年初，i=17%，图中单位为：万元。
解：为了与图1.21（a）一致，可先进行如图1.21（b）、（c）的分解，显见：
图1.21
5.3.2.6 等比级数增长系列公式与物价变动时的时间换算
（1）等比数列增长系列公式 设现金流量中每期数值是成等比关系增长，第一期末的收入为G1=G，第二期末收入为G（1+k），…，第n期末的收入为G（1+k）n-1（即收入的增加率为k），利率为i，现金流量图如图1.22所示。则收入现金流量的现值为：
图1.22
当k＞i时，令
，则有：
由于总节约的现值56.5万元大于设备现值50万元，所以向该设备投资是可行的。
5.3.2.7 资金时间价值计算小结
（1）资金时间价值既表现在数量上，也表现在时间上，既考虑资金的数量又考虑资金的时间价值的计算方法，称之为动态计算法。如果仅考虑资金的数量而不计其时间价值的计算方法为静态方法。工程中静态和动态方法在不同情况下都有应用，但是一般是以动态计算方法为主。
（2）工程中可以直接按公式计算和求解，缺点是计算复杂且易出错；也可以查表计算，优点是简便，不易出错。
（3）在利用（P/A，i，n）或（F/A，i，n）计算时，年数n一定等于支付次数，且各基本公式（参见表1.6）中的功能符号（计算因子）均存在互为倒数关系，即（x/y，i，n）=1/（y/x，i，n），例如：（P/F，i，n）=1/（F/P，i，n）等。
（4）当名义利率一定时，计算周期数越大，实际利率就越高，且当n→∞时，i=
，称此计算为连续复利计算。式（1.41）～式（1.60）的计算方法称之为间断复利计息。连续计息作为间断计息的极限概念，常被储蓄机构作为一种经营策略加以利用，其目的是吸引更多的储户。在施工经济计算与分析和企业的决策中，连续计息投资成本偏高，这是必须加以注意的问题。
为了方便查阅和计算，现将连续复利条件下的主要计算公式一并列入表1.6中。
表1.6 动态复利计算公式汇总
续表
【例1.17】 某施工单位与外商谈判，拟向外商借款100万美元，年利率为7.5%，外商的条件是10年内还清本息，即每年末等额偿还本金10万美元，同时还需还到期的利息7.5万美元。如果企业同意，即可签订合同，试帮助该企业咨询。
解：该合同能不能签订，可从如下三个方面考虑。
【例1.18】 某施工企业有一种施工机械，已使用了5年，目前的价值为5.8万元，估计还可以使用4年，其时无残值。市场上现有一种新的同类机械，购置费需18万元，寿命期为10年，十年末的残值为1.5万元。已知新旧机械的年经营费用分别为2.1万元和3.5万元，标准的折现率为10%，试问该施工企业从经济的角度看是否有必要更新该类机械？
解：（1）绘制新旧机械的现金流量图如图1.23所示（单位：万元）：
图1.23 例1.18现金流量图
（2）计算新旧机械的年值：
AC旧=3.5+5.8（A/P，10%，4）=3.5+5.8×0.3155
=5.33（万元）
AC新=2.1+18（A/P，10%，10）-1.5（A/F，10%，10）
=2.1+18×0.163-1.5×0.063
=4.94（万元）＜AC旧
可见，从经济的角度更新该机械是明智的。
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