RL电路和RC电路的全响应及三要素分析

前面的两小节分别介绍了一阶电路的零输入响应和零状态响应。通常情况下,电路中的动态元件既有初始储能,电路又有外加激励电源,这种情况下的电路响应为全响应。对于线性非时变动态电路,根据电路的叠加定理,电路的全响应等于电路的零输入响应和零状态响应之和。

如图4.16所示,开关k闭合前电容已有初始储能,v C(0-)=V 0,直流电压源则开关闭合后电路的响应为全响应。

图4.16　RC电路

根据电路的KVL方程和元件的VCR关系,可得

通过求解非齐次微分方程,可得特解v cp(t)=V s,通解为指数形式。

根据电容电压初始值可求得系数

所以电容电压的全响应为

重写式(4.41)可得

其中,是电容电压的零输入响应,是电容电压的零状态响应。式(4.42)验证了电路的全响应等于电路的零输入响应和零状态响应之和。

通过上述分析可知,在直流电源激励下,动态电路中任一支路的电压和电流都可以利用下式直接求解

其中,y(t+0)为初始值,y(∞)为稳态值,t 0是换路时刻,τ是时间常数。

无论是求解零输入响应、零状态响应还是全响应,只要知道了待求变量的初始值、稳态值和时间常数,就可以直接写出响应结果,这种方法被称为三要素法。表4.1总结了一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的三要素求解方法。

表4.1　一阶电路响应总结

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问题4.1 图4.17所示的电路中,t＜0时开关一直处在位置1。在t=0时,开关S从位置1移动到位置2。计算t＞0后的电容电流i C。

图4.17　问题4.1中的电路

解:电容两端的初始电压为

开关切换后,使用戴维南等效定理对电容右边的电路进行分析。它的开路电压为

等效电阻为

该电路可以等效为如图4.18所示。

因此,稳态电压为

时间常数为

则电路的全响应为

图4.18　开关状态改变后的等效电路

因此,流过电容的电流为