逻辑代数基础入门

逻辑代数也叫作布尔代数或开关代数，是表示和处理事物之间各种逻辑关系的一种数学工具。逻辑代数里只有0和1两种值，被称为二值逻辑。在二值逻辑中，对于任何命题P，要么P为真，要么P为假，不存在其他情况。二值逻辑的优点是简单明了，缺点是不能直接描述很多复杂的现实情况。

由于二值逻辑简单明了，容易通过电路得以实现，即只要用“通”和“断”（闭合和断开）两种状态就能实现二值逻辑。早期的开关电路就是由继电器和开关等器件构成的，所以称为开关电路。随着科学技术的不断发展，逐渐发展为现在的数字电子技术。数字电子技术的核心思想仍然是二值逻辑。

在逻辑代数中，0和1不代表大小，而是代表事物存在的两种对立状态。0如果代表“是”，则1代表“非”，反之亦然。为了与普通数学的大小相区别，也把0和1称为0状态（0-state）和1状态（1-state）。

由于逻辑代数只有两种取值情况，所以逻辑运算也特别简单，逻辑运算只有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本逻辑运算，其他复杂的运算都可以归结为这三种运算。

1.三种基本逻辑运算

（1）与运算 决定事件结果的全部条件都满足时，结果才发生，这种运算称为与运算。

如果决定Y的条件只有A和B两个，则描述A、B和Y之间关系的逻辑值对应表称为真值表。与逻辑真值表见表5-1。

与逻辑表达式为Y=A·B，读作“A与B”。逻辑变量一般采用单个大写字母表示，在不至于误会的情况下可以简写为Y=AB。

（2）或运算 决定事件结果的全部条件至少有一个满足时，事件就发生，这种运算称为或运算。或逻辑真值表见表5-2。

表5-1 与逻辑真值表

表5-2 或逻辑真值表

或逻辑表达式为Y=A+B，读作“A或B”。

（3）非运算 决定事件结果的条件满足时，事件不发生，这种运算称为非运算。非逻辑真值表见表5-3。

非逻辑表达式为Y=A，读作“非A”。

2.逻辑代数常用公式

（1）变量和常量运算公式

A+0=A A+1=1 A·0=0 A·1=A

（2）变量和变量运算公式

表5-3 非逻辑真值表

（3）较复杂运算公式

1）A+AB=A

证明：A+AB=A（1+B）

=A·1

=A

2）A+BC=（A+B）·（A+C）(www.xing528.com)

证明：（A+B）·（A+C）=AA+AC+AB+BC

=A+AC+AB+BC

=A（1+B+C）+BC

=A+BC

3）

证明：A+AB=（A+A）·（A+B）

=1·（A+B）

=A+B

4）

证明：

5）摩根定理：

摩根定理可以用真值表证明，此处略。

3.常用复合逻辑运算

（1）与非运算 先实现与逻辑功能，再将结果进行非逻辑运算称为与非运算。与非逻辑真值表见表5-4。注意和与逻辑真值表对比。

与非逻辑表达式为。

（2）或非运算 先实现或逻辑功能，再将结果进行非逻辑运算称为或非运算。或非逻辑真值表见表5-5。注意和或逻辑真值表对比。

表5-4 与非逻辑真值表

表5-5 或非逻辑真值表

或非逻辑表达式为。

（3）与或非运算 先实现与逻辑功能，再将与的结果进行或运算，最后再将或运算结果进行非逻辑运算称为与或非运算。与或非逻辑真值表见表5-6。

表5-6 与或非逻辑真值表

表5-4所对应的表达式为。

（4）异或运算 两个逻辑值如果相同，结果为假；两个逻辑值如果相异，结果为真，这种逻辑运算称为异或运算。异或逻辑真值表见表5-7。

异或逻辑表达式为，有时简写为Y=AB。