磁场、磁能及其关系分析

双线圈励磁的铁芯如图3-10所示，铁芯上装有线圈A和B，匝数分别为NA和NB。主磁路由铁芯磁路和气隙磁路串联构成，两段磁路的断面面积均为s。假设外加电压uA和uB为任意波形电压，励磁电流iA和iB也为任意波形电流，图中给出了电压和电流的正方向。

图3-10　双线圈励磁的铁芯

1.单线圈励磁

先讨论仅有线圈A励磁的情况。当电流iA流入线圈时，便会在铁芯内产生磁场。根据安培环路定律，有

式中，H为磁场强度，A/m；∑i为该闭合回线包围的总电流，A。

在图3-10中，取铁芯断面的中心线为闭合回线，环行方向为顺时针方向，根据安培环路定律，若电流正方向与闭合回线的环行方向符合右手螺旋关系时，i便取正号，否则取负号。沿着该闭合回线，假设铁芯磁路内的Hm处处相等，方向与积分路径一致，气隙内Hδ也如此。于是，有

式中，lm为铁芯磁路的长度，m；δ为气隙长度，m；NA为线圈A的匝数；fA为磁路的磁动势，A。Hmlm和Hδ为磁压降，并表明线圈A提供的磁动势fA被主磁路的两段磁压降所平衡。此时，fA相当于产生磁场H的“源”，类似于电路中的电动势。

在铁芯磁路内，磁场强度Hm产生的磁感应强度Bm为

式中，μFe为铁芯磁导率，H/m；μr为相对磁导率，H/m；μ0为真空磁导率，H/m。

在气隙磁路内，磁场强度Hδ产生的磁感应强度Bδ为

式中，μ0为真空磁导率，H/m。

将式（3-38）和式（3-39）代入式（3-37），可得

若不考虑气隙δ内磁场的边缘效应，气隙内磁场Bδ也均匀分布，于是式（3-40）可写为

式（3-41）中的各物理量可以定义为

式中，ΦmA为铁芯磁路主磁通，Wb；Rm为铁芯磁路磁阻，1/H（每亨[利]）；Φδ为气隙磁通，Wb；Rδ为气隙磁路的磁阻，1/H。

由于磁通具有连续性，显然有ΦmA＝Φδ，则有Bm＝Bδ。于是根据式（3-41）可得

式中，Rmδ为串联磁路的总磁阻，1/H。

通常，磁阻的倒数定义为磁导，即A＝1/R，磁导的单位为H（亨）。则磁路的欧姆定律有另外一种表达方式：

式（3-43）和式（3-44）表明，作用在磁路上的总磁动势恒等于闭合磁路内各段压降之和，这就是磁路的欧姆定律。

对图3-10所示的磁路而言，尽管铁芯磁路长度比气隙磁路长得多，但由于μFe远大于μ0，气隙磁路的磁阻还是要远大于铁芯磁路的磁阻。对于这个具有气隙的串联磁路，总磁阻将取决于气隙磁路的磁阻，磁动势大部分将降落在气隙磁路中。在很多情况下，为了问题分析的简化，可将铁芯磁路的磁阻忽略不计，此时磁动势fA与气隙磁路磁压降相等，即有

图3-10中，因为主磁通ΦmA是穿过气隙后而闭合的，提供了气隙磁通，所以又将ΦmA称为励磁磁通。定义线圈A的励磁磁链为

由式（3-37）、式（3-43）和式（3-46），可得

定义线圈A的励磁电感LmA为

LmA表征了线圈A单位电流产生磁链ΨmA的能力。对于图3-10的具体磁路，又将LmA称为线圈A的励磁电感。LmA的大小与线圈A匝数的二次方成正比，与串联磁路的总磁导成正比。由于总磁导与铁芯磁路的饱和程度（μFe）有关，因此LmA便是一个与励磁电流iA相关的非线性参数。若将铁芯磁路的磁阻忽略不计（μFe＝∞），LmA便是一个仅与气隙磁导和匝数有关的常数，即有LmA＝。

在磁动势fA作用下，还会产生没有穿过气隙主要经由铁芯外空气磁路而闭合的磁场，称为漏磁场。它与线圈A交链，产生漏磁链ΨσA，可表示为

式中，LσA为线圈A的漏电感，m H。LσA表征了线圈A单位电流产生漏磁链ΨσA的能力，由于漏磁场主要分布在空气中，因此LσA近乎为常值，且在数值上远小于LmA。

线圈A的总磁链为

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式中，ΨAA为线圈A中电流iA产生的磁场链过自身线圈的磁链（称为自感磁链），Wb，LA为自感（由漏电感LσA和励磁电感LmA两部分构成）。这样，通过电感就将线圈A产生磁链的能力表现为一个集中参数。在以后的分析中可以看出，电感是非常重要的参数。

当励磁电流iA变化时，磁链ΨAA将发生变化。根据法拉第电磁感应定律，ΨAA的变化将在线圈A中产生感应电动势eAA。若设eAA的正方向与iA的正方向一致，iA的方向与ΦmA的方向之间符合右手法则，则有

根据电路的基尔霍夫第二定律，线圈A的电压方程为

由式（3-51）和式（3-52）可得，在时间dt内输入铁芯线圈A的净电能d WeAA为

在没有任何机械运动的情况下，由电源输入的净电能dWeAA将会全部变成磁场能量的增量d Wm，于是

设磁路的Ψ—i曲线如图3-11所示。

当磁通是从0增长到ΦmA时，相应地线圈A磁链由0增长到ΨAA，根据图3-11的Ψ—i曲线，图中阴影部分的面积是磁路的磁场能量，即磁能Wm，则有

显然，图3-11中的Ψ—i曲线为非线性。若忽略铁芯磁路的磁阻和漏磁场的漏磁，Ψ—i曲线便是一条直线，即图3-11的曲线改成直线后重新计算阴影部分面积，则磁能Wm为

图3-11　磁路的Ψ—i曲线

在一定磁感应强度下，介质的磁导率μ越大，磁场的储能密度就越小，否则相反。对于图3-10所示的电磁装置，由于μFe远大于μ0，因此，绝大部分磁场能量Wm将储存在气隙中。

2.双线圈励磁

对于图3-10所示的电磁装置，现分析线圈A和线圈B同时励磁的情况。此时忽略铁芯磁路磁阻，磁路为线性，故可以采用叠加原理，分别由磁动势fA和fB计算出各自产生的磁通。

同线圈A一样，可以求出线圈B产生的磁通如ΦmB和ΦσB，此时线圈B的自感磁链ΨBB为

式中，LσB为线圈B的漏电感；LmB为线圈B的励磁电感；LB为线圈B的自感。

线圈B产生的磁通同时要与线圈A交链，反之亦然。这部分相互交链的磁通称为互感磁通。在图3-10中，励磁磁通ΦmB全部与线圈A交链，则电流iB在线圈A中产生的互感磁链ΨAB为

定义线圈B对线圈A的互感为LAB，则由式（3-58）可得LAB为

同理，线圈A对线圈B的互感LBA与线圈B对线圈A的互感为LAB相等，即

在图3-10中，当电流iA和iB的方向同为正时，两者产生的励磁磁场方向一致，因此两线圈互感为正值。若改变iA或iB的正方向，或者改变其中一个线圈时绕向，则两者的互感便成为负值。值得注意的是，如果NA＝NB，则有LmA＝LmB＝LAB＝LBA，即两线圈不仅励磁电感相等，且励磁电感又与互感相等。

线圈A的全磁链ΨA可表示为

同理，线圈B的全磁链ΨB可表示为

感应电动势eA和eB分别为

在时间dt内，由外部电源输入铁芯线圈A和B的净电能d We为

由电源输入的净电能d We将全部转化为磁场能量的增量d Wm，即有

当两个线圈的磁链由O分别增长为ΨA和ΨB时，整个电磁装置的磁场能量Wm为

因为磁路为线性，则有