如何计算平面机构的自由度？

所有运动构件都在同一平面或在相互平行的平面内运动，这种机构称为平面机构，否则称为空间机构。目前工程中常见的机构大多为平面机构。

如前所述，机构是由若干构件用运动副相联接并具有确定相对运动的组合体。我们把若干构件用运动副联成的系统称为运动链，其中有一个构件为固定构件（机架），只有当给定运动链中一个（或若干个）构件作为主动构件以独立运动，其余构件随之作确定的相对运动，这种具有确定相对运动的运动链才称为机构。讨论运动链在什么条件下才能具有确定的相对运动，对于设计新机构或分析现有机构都是非常重要的。

图1-6　平面运动的自由构件

1.平面机构自由度的计算公式及其意义

一个作平面运动的自由构件（未与其他构件用运动副相联）有三个独立的运动，如图1-6所示，在xOy 坐标系中，构件M 可以作沿x 轴线移动、沿y 轴线移动以及绕任何垂直于xOy平面的轴线A 转动。运动构件的这三种可能出现的独立的自由运动称为构件的自由度，所以作平面运动的自由构件具有三个自由度。

当构件之间用运动副联接以后，在其联接处，它们之间的某些相对运动将不能实现，这种对于相对运动的限制称为运动副的约束，自由度数将随引入约束而相应地减少。不同类型的运动副，引入的约束不同，保留的自由度也不同。如图1-3（a）、（b）所示回转副约束了运动构件沿x、y 轴线移动的两个自由度，只保留绕z轴转动的一个自由度；如图1-3（c）所示移动副约束了构件沿一轴线y 移动和在xOy 平面内转动的两个自由度，只保留了沿另一轴线z移动的一个自由度；如图1-3（d）、（e）所示滚滑副只约束了沿接触处k公法线n-n 方向移动的一个自由度，保留绕接触处转动和沿接触处公切线t-t 方向移动的两个自由度。所以，在平面运动链中，每个低副（两个构件之间以面接触组成的回转副和移动副）引入两个约束，使构件丧失两个自由度；每个高副（两构件之间以点或线接触组成的滚滑副）引入一个约束，使构件丧失一个自由度。

如果一个平面运动链中包括固定构件在内共有N 个构件，则除去固定构件后，运动链中的运动构件数应为n＝N－1。在未用运动副联接之前，这n 个运动构件相对机架的自由度总数应为3n，当用运动副将构件联接起来后，由于引入了约束，运动链中各构件具有的自由度就减少了。若运动链中低副数目为PL 个，高副数目为PH 个，则运动链中全部运动副所引入的约束总数为2PL＋PH。将运动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数，即为运动链相对机架所具有的独立运动的个数，称为运动链相对机架的自由度（简称运动链自由度），以F 表示，即

这就是平面运动链自由度的计算公式。我们通过以下各例进一步分析平面运动链在什么条件下才能成为具有确定性相对运动的平面机构。

图1-7　平面运动链

如图1-7（a）、（b）所示平面运动链的自由度F＝3n－2PL－PH ＝3×3－2×4－0＝1，若以构件1为主动构件，则其余运动构件将随之作确定的运动。如图1-7（c）所示平面运动链的自由度F＝3n－2PL－PH ＝3×2－2×2－1＝1，若以凸轮1为主动构件，则从动杆2亦作确定的往复移动。如图1-7（d）所示平面运动链的自由度F＝3n－2PL－PH ＝3×4－2×5－0＝2，若以1、4两个构件为主动构件，则其他从动构件2、3随之作确定的运动。可见，给定运动链的主动构件数等于其自由度数时，即成为具有确定相对运动的机构。但若主动构件数小于运动链的自由度，如图1-7（d）中，仅构件1为主动构件，则其余从动构件2、3、4不具确定的运动；若主动构件数大于运动链的自由度，如图1-7（a）、（b）中，使构件1、3都为主动构件并从外界给定独立运动，势必将构件折断。再分析图1-7（e），运动链的自由度F＝3n－2PL－PH ＝3×2－2×3－0＝0，各构件的全部自由度将失去，不能再有从外界给定独立运动的主动构件，从而形成各构件间不会有相对运动的刚性构架。综上所述，运动链成为具有确定相对运动的机构的必要条件为：

（1）运动链的自由度必须大于零；

（2）主动构件数等于运动链的自由度。

通常把整个运动链相对机架的自由度称为机构的自由度，所以式（1-1）也称为平面机构自由度的计算公式。

2.计算平面机构自由度时应注意的问题

（1）复合铰链

三个或三个以上构件在同一轴线上用回转副相联接构成复合铰链，如图1-8所示为三个构件在同一轴线上构成两个回转副的复合铰链。可以类推，若有m 个构件构成同轴复合铰链，则应具有m－1个回转副。在计算机构自由度时应注意识别复合铰链，以免漏算运动副的数目。

图1-8　复合铰链(www.xing528.com)

例1-4　计算如图1-9所示摇筛机构自由度。

解：粗看似乎是5个运动构件和A、B、C、D、E、F 等铰链组成六个回转副，由式（1-1）得F＝3n－2PL－PH ＝3×5－2×6－0＝3，如果真如此，则必须有三个主动构件才能使机构有确定的运动。但这与实际情况显然不符。事实上，整个机构只要一个构件即构件1作为主动构件即能使运动完全确定下来，这种计算错误是因为忽略了构件2、3、4在铰链C 处构成复合铰链，组成两个同轴回转副而不是一个回转副之故，故总的回转副数PL ＝7，而不是PL＝6，据此按式（1-1）计算得F＝3×5－2×7－0＝1，这便与实际情况相符了。

（2）局部自由度

不影响机构中输出与输入关系的个别构件的独立运动称为局部自由度（或多余自由度），在计算机构自由度时应予排除。

例1-5　计算图1-10（a）所示滚子从动件凸轮机构的自由度。

图1-9　摇筛机构自由度

图1-10　滚子从动件凸轮机构

解：粗分析，图示凸轮1、从动杆2、滚子4三个活动构件，组成两个回转副、一个移动副和一个高副，按式（1-1）得F＝3n－2PL－PH ＝3×3－2×3－1＝2，表明该机构有两个自由度，这又与实际情况不符，因为实际上只有凸轮1一个主动构件，从动杆2即可按一定规律作确定的运动。进一步分析可知，滚子4绕其轴线B 的自由转动不论正转或反转甚至不转都不影响从动杆2的运动规律，因此回转副B 应看作是局部自由度，即多余自由度，在正确计算自由度时应予除去不计。这时可如图1-10（b）所示，将滚子与从动杆固联作为一个构件看待，即按n＝2、PL＝2、PH ＝1来考虑，则由式（1-1）得F＝3n－2PL－PH ＝3×2－2×2－1＝1，这便与实际情况相符了。

局部自由度虽然不影响机构输入与输出运动关系，但上例中的滚子可使高副接触处的滑动摩擦[见图1-7（c）]变成滚动摩擦，从而提高效率、减少磨损。在实际机械中常有这类局部自由度出现。

（3）虚约束

在运动副引入的约束中，有些约束对机构自由度的影响与其他约束重复，这些重复的约束称为虚约束（或消极约束），在计算机构自由度时也应除去不计。

例1-6　如图1-11（a）所示机构，各构件的长度为lAB ＝lCD ＝lEF，lBC＝lAD，lCE ＝lDF，试计算其自由度。

解：粗分析，n＝4，PL＝6，PH ＝0，由式（1-1）得F＝3n－2PL－PH ＝3×4－2×6－0＝0。显然这又与实际情况不符。若将构件EF 除去，回转副E、F 也就不复存在，则成为图1-11（b）所示的平行四边形机构；此时，n＝3，PL＝4，PH ＝0，由式（1-1）得F＝3n－2PL－PH ＝3×3－2×4－0＝1，而其运动情况仍与图1-11（a）所示一样，E 点的轨迹为以F 点为圆心、以lCD（即lEF）为半径的圆。这表明构件EF 与回转副E、F 存在与否对整个机构的运动并无影响，加入构件EF 和两个回转副引入了三个自由度和四个约束，增加的这个约束是虚约束，它是构件间几何尺寸满足某些特殊条件而产生的，计算机构自由度时，应将产生虚约束的构件连同带入的运动副一起除去不计，化为图1-11（b）的形式计算。但若如图1-11（c）所示，lCE ≠lDF，则构件EF 并非虚约束，该运动链自由度为零，不能运动。

图1-11　机构

机构中经常会有消极约束存在，如两个构件之间组成多个导路平行的移动副[图1-12（a）]，只有一个移动副起约束作用，其余都是虚约束；又如两个构件之间组成多个轴线重合的回转副[图11-12（b）]，只有一个回转副起约束作用，其余都是虚约束；再如图1-12（c）所示行星架H 上同时安装三个对称布置的行星轮2、2′、2″，从运动学观点来看，它与采用一个行星轮的运动效果完全一样，即另外两个行星轮是对运动无影响的虚约束。机械中常设计带有虚约束，对运动情况虽无影响，但往往能使受力情况得到改善，如图1-12（b）所示用两个轴承改善轴的支承及受力、图1-12（c）中采用三个行星轮运转时受力的均衡等即是明显例子。

图1-12　多个导路平行的移动副