MeanShift的核函数与概率密度分析

由式(9.1)可以得出，落入区域Sh 的采样点，有的距离x 较近，有的距离x 较远，但它们对最终的函数Mh(x)计算做出的贡献是一样的。距离x 越近的采样点，它对估计点x 周围的统计特性就越有效果，因此引进了核函数的概念。

令X 表示d 维空间中的向量，此空间中的一个点可以用向量x 表示，x 向量的模为:

用R 代表实数域，当X →R，k:0，[　]∞→R 时存在一个剖面函数，可以表示为:

并且满足:

(1)k 是非负的，即k ≥0 。

(2)k 是分段连续的，并且

(3)当a ＜b 时，有k( a )≥k( b )。

(4)那么，函数K( x )就是Mean Shift 的核函数，k( x )是K( x )的轮廓函数。

(5)在计算Mh(x)时，如果考虑距离的影响，可以认为这些样本点xi 的重要性并不一样，对每个样本都引入一个权重系数，基本的Mean Shift 形式可以扩展为:

其中:(www.xing528.com)

G(x)是一个单位核函数，H 是一个带宽矩阵，w(xi)≥0 是赋给采样点xi 的权重。

均值漂移算法实质上是一种核密度估计算法，它将每一个点移动到密度函数为0 的点处，也就是局部极大值点处，这个点可以称为模式点。在式(9.8)和式(9.9)中，带宽矩阵H 一般定义为一个对角矩阵，正比于单位矩阵，用H = h2I 表示，因此式(9.8)又可以写成:

将x 提出，可得:

将式(9.11)的右边第一项记为mh( )x ，得:

如果给定一个核函数G( x )和初始点x，Mean Shift 算法循环一下三个步骤:(1)计算mh( x )的值。

(2)把mh( x )值赋给x。

(3)如果满足‖mh( x )－ x‖ ＜ε，则结束循环;不满足，则执行(1)。

其中ε 为容许误差，Mean Shift 向量总是指向概率密度增大的方向。在特征点区域，向量的步长小;在非特征点区域，步长大。因此，Mean Shift 是一个自适应梯度上升算法。