灰色模型和Verhulst模型的预测方法

1.灰色系统概述

灰色系统理论是一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科，它是由我国学者邓聚龙教授在1982年创立的。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制^[2]。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类方法，在形式上是单数列预测，只运用研究对象自身的时间序列建立模型，与其相关联的因素没有参与建模，这正是灰色系统“灰”的体现。因为任何一个系统究竟包含多少因素，难以说清。比如人口系统的再生产是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响、制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，它们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映人口系统具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律^[3]。

2.传统灰色GM（1，1）模型的建模

灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM（1，1）模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM（1，1）模型可以弱化原始序列X（0）的随机性和波动性，为灰色模型提供更加有效的信息，所揭示的原始序列呈指数变化规律。设原始数据序列为：X（0）=［x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）］，为了弱化原始序列的随机性和波动性，为灰色模型提供更加有效的信息，在建立灰色预测模型前，对原始数据进行预处理，通常采用对序列X（0）进行一次累加生成的处理方式，即1-AGO（Accumulating Generation Operator），记生成序列为：

GM（1，1）模型是由一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型：

其中z（1）（k）是x（1）k的紧邻均值生成序列，即z（1）（k）=0.5［x（1）（k）-x（1）（k-1）］，式（2）的白化方程（也称影子方程）为：

其中a称为发展灰数，b称为内生控制灰数，a的有效区间是（-1，2）。应用最小二乘法求解可得：

求得方程的解，即时间响应函数为：

为确保所建灰色模型有较高的预测精度和可信程度，需要进行残差检验、关联度检验及后验差检验。

3.传统灰色模型在人口预测中的问题

近些年有不少学者采用灰色模型进行人口预测，取得了很好的成果。不过传统的灰色GM（1，1）模型类似于指数模型，所得出的人口增长率是保持不变的，虽然对于近期预测较为准确，但长期来讲，是不符合人口增长规律的。因为按照人口学的理论，人口的增长将在一段时间之后达到一个阈值，即达到一个较为饱和的状态。这与受约束的生物种群增长有些类似。

4.灰色verhulst预测模型

为了解决这一问题，我们选择灰色verhulst模型进行中长期的人口预测。灰色理论中的Verhulst模型，它主要用来描述具有饱和状态的过程，即S形过程，适合于对人口数量的预测。Verhulst模型是1837年德国生物学家Verhulst在研究生物繁殖规律时提出的。其基本思想是生物个体数量是呈指数增长的，受周围环境的限制，增长速度逐渐放慢，最终稳定在一个固定值^[4]。

与灰度预测中常用的传统GM（1，1）模型相比，灰度预测Verhulst模型更加充分地考虑了有限制情况下的类指数发展状况，而不是一味地保持一个指数增长的态势。虽然用传统GM（1，1）进行短期的预测也会得到一个相对满意的结果，但是预测时间一旦增长，传统GM（1，1）的预测偏差就会变得很大。相比之下，灰度预测Verhulst模型更加贴近于社会和自然环境的实际情况，更加符合人口增长这个世纪的现象，故能进行较长时间的预测，且结果较为理想。

（1）Verhulst模型的建立

假设X（0）为原始的数据序列，X（1）为X（0）的一次叠加序列，即X（0）的1-AGO序列，Z（1）为X（0）的近邻生成序列，则称

X(0)+aZ(1)=b(Z(1))2　(5.8)

为灰色Verhulst模型，并称

为灰色Verhulst模型的白化方程，它的解为

Verhulst模型的时间响应式为

由Verhulst方程的解可以看出，当t→∞时，若a〉0，则x（1）（t）→0；若a〈0，则既有充分大的t，对任意的k＞t，x（1）（t+1）与x（1）（t）充分接近，此时，x（0）（k）=x（1）（k）-x（1）（k-1）≈0，系统趋于死亡，即出现一个相对稳定的饱和值。

（2）Verhulst模型的检验(www.xing528.com)

为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，一般需要按下述步骤进行检验：

a）求出x（0）（k）与x（1）（k）之残差e（k）、相对误差Δk和平均相对误差：

b）求出原始数据平均值，残差平均值：

c）求出原始数据方差s12与残差方差s22的均方差比值C和小误差概率P：

通常e（k）、Δk、C值越小，p值越大，则模型精度越好。若〈0.01且Δk〈0.01，C〈0.35，〉0.95，则模型精度为一级。P〉0.8为合格，P〉0.70为勉强合格，P≤0.70为不合格。

5.人口预测实例分析

为了对比两种模型，我们利用传统GM（1，1）模型与Verhulst模型分别对长春市人口进行预测，然后对所得结果进行对比。

下面是1989—2006年长春市人口总量的统计数据，我们将分别利用两种模型对这些数据进行预测。

表5-1　长春市历史人口数量　（单位：万人）

数据来源：根据1990-2007年《吉林省统计年鉴》整理

GM（1，1）模型

选用1989—2006年长春市总人口数据建立灰色动态预测GM（1，1）模型，利用Matlab编制程序计算得：

x(1)(k+1)=67516.6254e0.0093796k-66890.0254　(5.21)

经检验，模型预测的平均相对误差：0.22757%，均方差比c：0.058281，小概率误差p：1。

Verhulst模型

选用1989—2006年长春市总人口数据建立Verhulst模型，利用Matlab编制程序计算得：

经检验，模型预测的平均相对误差：0.25694%，均方差比c：0.062549，小概率误差p：1。

预测的具体结果如下表5-2，从结果可以看出，经过后检验，两种模型所得结果精度均为一级，可用于对长春市未来人口进行预测。

对比2007年长春市的实际人口数量745.96万人，传统GM（1，1）模型与verhulst模型预测结果误差均较小，预测精度较高。但是随着时间的推移，verhulst模型的预测人口的增长率逐渐变小，人口增长模式符合s型曲线规律。而GM（1，1）模型的预测结果显示，人口增长率保持0.94%的幅度不变，虽然对于近期预测可能较为准确，但长期预测结果显然是不合理的。另外对于人口出现负增长的地区，如白山市，传统GM（1，1）模型预测结果误差较大，不宜于进行中长期预测。而verhulst模型则可以获得较好的预测精度，模型较为可靠（见图5-1）。

表5-2　两种模型下的未来长春市人口

注：下文中未标出数据来源的表格数据均为根据已有数据预测得出

图5-1　长春市人口GM（1，1）模型与verhulst模型预测结果对比