离散方法与压力-速度耦合：一体化求解

由于计算机所能表示的数字和数位均是有限的，而且只能进行离散量的运算，所以用数值方法求解各种各样的流体力学问题，必须首先变为离散的有限数值模型，才能在计算机上求解。将流体力学的连续流动用多个质点、离散涡或有限波系的运动来近似，在数学上就表示为有限差分法、有限元法、有限分析法以及有限容积法等形式。在上述的数值离散方法中，就实施的简易，发展的成熟及应用的广泛等方面综合评价，有限容积法无疑居优。后面就是采用有限容积法将控制方程转换为可以用数值方法解出的代数方程，该方法在每一个控制体内积分控制方程，从而产生基于控制体的每一个变量都守恒的离散方程。

在数值求解过程中，动量方程和连续性方程式是按顺序解出的，在这个顺序格式中，连续性方程是作为压力的方程使用的，但是对于不可压缩流动，由于压力本身没有自己的控制方程，它是通过源项的形式出现在动量方程中，压力与速度的关系隐含在连续性方程中。求解动量方程时，一般先假定初始压力场（或上一次迭代计算所得到的结果），再由离散形式的动量方程求得速度场。压力场是假定的或不精确的，由此得到的速度场一般不满足连续方程，必须对初始压力场进行修正。由Patankar和Spalding于1972年提出的SIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations）算法成功的解决了这个问题，它修正的方法是把动量方程的离散形式所规定的压力与速度的关系代入连续方程的离散形式，从而得到压力修正方程，由压力修正方程得出压力修正值，根据修正后的压力场，求得新的速度场，然后检查速度场是否收敛，若不收敛，用修正后的压力值作为给定的压力场，开始下一层次的计算。如此反复，直到获得收敛的解。SI MPLE算法使用压力和速度之间的相互校正关系来强制质量守恒并获取压力场。

以二维为例，SIMPLE算法计算步骤如下：

（1）假定一个速度分布，记为u0，v0，以此计算动量离散方程中的系数及常数项。

（2）假定一个压力场p∗。

（3）依次求解两个动量方程，得u∗，v∗。(www.xing528.com)

（4）求解压力修正值方程，得p′。

（5）根据p′改进速度值。

（6）利用改进后的速度场求解那些通过源项物性等与速度场耦合的ϕ变量，如果ϕ并不影响流场，则应在速度场收敛后再求解。

（7）利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数，并用改进后的压力场作为下一层次计算的初值，重复上述步骤，直至获得收敛的解。