水轮机基本方程式解析

对反击式水轮机，压力水流以一定的速度流进转轮时，由于空间扭曲叶片所形成的流道对水流产生约束，使水流不断地改变其运动的速度大小和方向，因而水流给叶片以反作用力，迫使转轮旋转作功。为了进一步从理论上说明水流能量如何在水轮机转轮中转变为旋转机械能，可应用动量矩定律来分析。

动量矩定律为：单位时间内水流质量对水轮机主轴的动量矩变化应等于作用在该质量上全部外力对同一轴的力矩总和。

由于进入转轮中的水流是轴对称的，因此可以取整个转轮来进行分析。水流质量的动量矩与水流的速度成正比，转轮中水流的绝对速度V→可分解为三个正交分量，即和，其中通过轴心，而又与主轴平行，所以两者都不对主轴产生速度矩，由此，根据动量矩定律得出

式中 m——dt时间内通过水轮机转轮的水体质量，kg；

r——半径，m；

∑Mw——作用在水体质量m 上所有外力对主轴力矩的总和。

当进入转轮的有效流量为Qe 时，则

当水轮机在稳定工况工作时，转轮中的水流运动可认为是恒定流动，根据水流连续定理，流进转轮和流出转轮的流量不变，均为有效流量Qe。因此，单位时间内流进转轮外缘的动量矩为，流出转轮内缘的动量矩为，所以在单位时间内水流质量m 动量矩的增量，即应等于此质量在转轮出口处与进口处的动量矩之差，即

对于式（2-6）右端的外力矩∑Mw，先分析作用在水流质量上的外力，并接着讨论这些外力形成力矩的情况：

（1）转轮叶片对水流的作用力：它迫使水流改变其运动的方向与速度的大小，该作用力对水流质量产生相对主轴的旋转力矩，其反作用力矩就是水轮机转轮能够转动的动力源。

（2）转轮外的水流在转轮进、出口处的水压力：转轮内水流是轴对称的，压力通过轴心，对主轴不产生作用力矩。

（3）上冠、下环内表面对水流的压力：由于这些内表面均为旋转面，故此压力也是轴对称的，不产生作用力矩。

（4）重力：水流质量重力的合力方向与轴线重合或平行，故对主轴也不产生力矩。

另外还有控制面的摩擦力，其作用反映在水轮机的效率中，此处暂不考虑。这样，作用在水流质量上的外力矩就仅有转轮叶片对水流的作用力所产生的力矩M0，即∑Mw=M0。

水流对转轮的作用力矩记为M，根据作用力与反作用力定律，它与转轮对水流的作用力矩M0 在数值上相等而方向相反，即M=-M0，则有

式（2-8）初步说明了水轮机中水流能量转换为旋转机械能的基本平衡关系。为了应用方便，常将这种机械力矩M 乘以转轮的旋转角速度ω，用功率的形式来表达，这样可得出水流作用于转轮上的功率为

通过水轮机水流的有效功率为

式中 ηs——水力效率。

将式（2-10）代入式（2-9）得(www.xing528.com)

由速度三角形图2-6的关系可知Vu=Vcosα，所以上式亦可写成

式（2-11）～式（2-13）均可称为水轮机的基本方程式，它们只是表达的形式有所不同。当水轮机的角速度ω 保持一定时，则上列方程式说明了单位重量水流的有效出力是和转轮进、出口速度矩的改变相平衡的，所以速度矩的变化是转轮作功的主要依据。

水轮机的基本方程式还可以用环量来表示。转轮的速度环量Γ=2πVur，可以看作是速度Vu 沿圆周所做的功。将式（2-11）两端各乘以2π后得

进口速度环量Γ1 主要由蜗壳和导水机构组成，Γ2 为出口损失的速度环量，所以转轮的输出功率主要决定于转轮进口与出口的速度环量变化。

由进出口的速度三角形得

W21=V21+U21-2U1V1cosα1=V21+U21-2U1Vu1

W22=V22+U22-2U2V2cosα2=V22+U22-2U2Vu2

将上列关系代入式（2-12）或式（2-13）得

式（2-15）为又一种形式的水轮机基本方程式，它明确地给出了水轮机有效水头与速度三角形中各速度之间的关系。式中第一项为水流作用在转轮上的动能水头，第二、第三项为势能水头，分别用于克服水流因旋转产生的离心力和加速转轮中水流的相对运动。

对轴流式水轮机，式（2-15）中U1=U2，此时水轮机的有效水头Hηs 便取决于绝对速度和相对速度，但它们不能过分增大，否则会增加水力损失，这也就限制了轴流式水轮机的水头应用范围。

水轮机基本方程式都给出了水轮机有效水头与转轮进出口水流运动参数之间的关系，它们实质上也都表明了水轮机中水能转换为转轮旋转机械能的基本平衡关系，是自然界能量守恒定律的另一种表现形式。反击式水轮机转轮就是依靠流道的约束，不断改变水流的速度大小和方向，将水流能量以作用力的形式源源不断地传递给转轮，使转轮不断旋转作功。

对于反击式水轮机，转轮之所以能够转动，是因为转轮叶片上的作用力，我们可以从水轮机的流道形状和叶片形状来分析理解。混流式水轮机两叶片之间的流道由上冠、下环和叶片共同构成，叶片的形状在空间是一个扭曲面，其剖面是头部厚尾部薄，呈流线型，类似于飞机机翼的形状，如图2-9所示。这种剖面形状称之为翼型，在水轮机中也常称之为叶型。翼型的凹面构成叶片的正面，凸面构成叶片的背面，水流流经这样的翼型，流线会发生变化，在翼型头部分离点，正面和背面属于同一个点，压力相同，之后，从叶片进口到叶片出口，翼型凸面流速大于凹面流速，在叶片尾部出口汇合处又归于同一个点，压力也相同。这样的流速变化过程，使得叶片凹面压强大于凸面压强，因而在翼型上受到一个从凹面指向凸面的作用力，这个作用力就是翼型的升力Py，由于存在流体阻力，升力与阻力的合力Fy 指向翼型后上方。升力的大小由H.E.茹可夫斯基定理确定，即

图2-9　翼型上的作用力

式中 ρ——液体的密度；

Vy——翼型来流流速；

Γ——包围翼型的封闭围线上的环量值。

由此可见，水流对翼型的作用力大小由翼型周围的速度环量决定。这个力的圆周分量构成了转轮的旋转动力，轴向分量构成水轮机的轴向水推力。反击式水轮机转轮叶片上的作用力就是依靠叶片正面（也称工作面）与背面的压力差而形成的，转轮正是在这个力的作用下被“推”着旋转。图2-10所示为混流式转轮中叶片上环量、速度及工作面与背面的压力分布情况。

图2-10　混流式转轮叶片上环量、速度及压力分布