统计模型的应用与案例分析

统计模型是基于实践，测量波动源并且将这些波动转化为SPICE模型参数的波动。第一步是识别独立的波动因素并确定它们的长期波动。图11-34是一个具体实例，图中显示了一段时期以氧化层厚度表示的电容等效厚度的波动。这些数据信息被转化为直方图，可以进一步提取得到表征波动特征的均值和标准偏差值。这些特征值然后被结合进模型，将独立的模型参数建模为其标称值加标准偏差变量。可以按照这种方法处理的物理参数包括掺杂浓度、氧化层厚度、迁移率、栅宽和栅长等。重要的是这些选择的参数可以被正确的加到SPICE模型中以确保它们的影响可以被正确的仿真。例如，普遍使用的简单办法是改变器件的阈值电压以观察工艺波动的影响，但是这并不能正确的获得背栅偏置的情况，因而会产生不正确的结果。因为SPICE模型并非都具有完整的物理含义，这使得这个任务变得很困难。

图11-34 给定工艺的氧化层厚度随时间的波动

下一步是模型关联。通常像阈值电压V_th0这样的参数被设定为固定值，例如取V_th0=0.4，考虑到波动的影响，现在就成为V_th0=0.4+VTH_PVAR，其中VTH_PVAR定义为AGAUSS（M，σ，N），这里M代表均值，σ是标准偏差，N代表N倍标准偏差σ。采用这种方式并不能获得阈值电压对氧化层厚度的依赖，因此最好表示为^[36]：

式中，

σ_FB。相关参数的含义为：N_S是0～x_t1之间的掺杂浓度，而N_P是x_t1与耗尽层深度x_dep之间的掺杂浓度。其他符号的含义与普遍采用的含义相同。使用这种阈值电压的表达式可以同时考虑像平带电压和沟道掺杂这样的多个工艺参数。这也可以获得衬底偏置的影响，使整个仿真更加精确。一旦获得合适的参数值，进行多次仿真就可以获得能够在晶圆上测量得到的像阈值电压和I_{D sat}这样的参数的分布。对比实际的测量结果与仿真得到的分布，就可以验证模型产生的分布的正确性。

对两种类型的器件，每个参数的标准偏差一般不同。同样每个参数的标准偏差与器件尺寸也有很强的相关性，对沟道长度依赖性更强，特别是在沟道长度很小的情况更加明显。图11-35所示为深亚微米工艺下两个并排放置以提供最大程度匹配的相同NMOS器件之间阈值电压差别（这种差别只反映局部范围内参数的分散性）随器件尺寸波动的情况。这些数据没有包括能进一步增加参数分散性的器件不同放置位置的影响。局部范围内参数的分散性可能对数字电路来说不太重要，因为数字电路特性主要取决于参数平均结果，特别是对较深的逻辑级别。但是对模拟设计它变得很重要。这种局部范围内参数分散性可以被用来确定像差分放大器这样的关键单元中器件的最优尺寸。能反映参数分散性的合适模型应该同时考虑局部范围（晶片内）和全局范围（晶片间）的参数分散性。工艺分散性可以用下式表示^[34]：

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式中，σ（ΔP）为工艺参数ΔP的标准偏差；W和L分别为器件沟道宽度和长度。器件之间放置位置差别用D表示，而参数A_ΔP和S_ΔP是必须由测量确定的与工艺相关的常数。上式右边第一项代表局部范围参数的分散性，而第二项则代表了与器件放置位置密切相关的全局范围参数分散性。某些情况下，这个模型可能不能提供对工艺波动必要的洞察^[35]。因此，最好是采用更多的分量构成方差，从而可以对可能引起分散性的各种位置进行深入的分析进而得到整个影响结果。可以进一步了解图11-32的细节，其中对每一级别均赋予一个方差分量。采用这种方式可以更深入的了解对产品成品率的影响，但是要针对各个级别获得关于分散性的有意义的信息会变得困难。

图11-35 作为器件尺寸函数的阈值电压的波动

这种方法已用于估计锁相环的电荷泵中可以预期的电流失配程度。仿真结果如图11-36所示。这里假定设计可以处理±6%的电流失配，而这些电流失配会导致15片芯片超出规范范围，或成品率约为97%。如果认为这种成品率是足够的，那么就无需进一步改进设计。如果要求更高的成品率，电路就必须重新设计。这种重新设计可能要采用完全不同的电荷泵结构，或只要简单的重新确定关键器件的尺寸以降低参数分散性的影响。图11-37说明了阈值电压的分散程度是如何随着器件尺寸的增加而减少。图中y轴表示阈值电压的偏移，而x轴是归一化的器件尺寸（面积）。归一化是指对100nm工艺中的最小尺寸的器件进行归一化处理。通过有选择地放大关键器件的尺寸来减小整个系统的参数分散性是可能的。

图11-36 由局部范围和全局范围阈值电压分散性导致的电荷泵电流失配

图11-37 作为器件尺寸函数的阈值电压的分散性