互连等效电路的表示方法

金属线基本电气行为可以用下述麦克斯韦方程组描述：

再结合下面的电荷守恒定律可以进行完整确切地表征：

然而，直接求解这些方程需要实际上难以操作的大量计算。因此，根据所关心的频率范围和互连长度，通常对这些方程进行简化，以改善计算效率。图8-4所示为几个基于不同近似的片上互连的电路模型。

图8-4 片上互连分析的各种电路模型

a）三条平行互连 b）集总RLC模型 c）集总RC模型 d）分布RLC模型

金属线的行为是与频率相关的。在直流情况下，它表现为电阻，会引起电源压降（IR降）和静态功耗（IR²）。在交流情况下，互连上的信号传输特性受电场和磁场相互作用的影响。在当前的IC设计中，如果信号频率相对较低并且互连长度与信号的波长相比非常短（例如10GHz时，在k=3.0的介质中波长为1.7cm），通常可以采用准静态假设。在准静态假设下，可以忽略式（8.2.1）中的位移电流项，也就忽略了电场和磁场之间的关联。因此，可以分别确定和提取互连电容C和互连电感L，最终可以采用RC或RLC等效电路描述互连，如图8-4所示。对一条均匀的互连，麦克斯韦尔方程可以简化为电报方程（传输线理论）来求解电气响应：

式中，x为长度；t为时间；V为电压。另外，如果金属线远短于信号波长，将整个互连处理为集总模型是一种可靠的近似，因为信号电平在整个互连上近似为恒定的。图8-4a显示的实际互连可以分别用图8-4b中所示的集总RC或RLC模型代替。确定一条互连是否能用集总模型代替的经验法则是，检验它的长度是否满足下述准则：

式中，λ为信号的波长。注意，一个数字信号的频谱主要取决于上升时间t_r（如）而不是信号频率本身。因此，λ应该从信号的上升边来估计。例如，对一个在k=3.0的介质中上升边为20ps的互连，只要其长度小于500μm就可以使用集总模型。全局互连的长度一般太长不能满足上面的条件，因此需要被分成相等的片段，使每个片段都满足式（8.2.4）。每个片段可以采用由简单的RC或RLC单元组成的阶梯型、T型、或Π型电路。图8-4a所示的三根耦合互连的分布RLC等效如图8-4d所示。在进行性能分析时，集总模型便于对缩放和物理现象的理解，因此特别适合设计开发的前期阶段。然而，在设计阶段后期需要更高精度时，应该使用分布模型。

何时何处需要考虑电感 电感是对电流所产生磁场分布的唯一度量。因为在时钟频率较低时可以忽略互连电感，片上互连一般仅采用RC元件进行建模；电感是芯片外封装设计者考虑的问题。然而，当时钟频率进入到GHz领域时，互连电感形成的感抗（jωL）将可以与互连电阻R相比拟，甚至会成为全局互连总金属阻抗（Z=R+jωL）的主要部分。另外，低电阻率的铜和低k介质的引入也使L的重要性相对增加了。在许多重要的电路设计中电感的影响将不再可以忽略；电感不仅增加了信号时延而且也引起了电压过冲和压摆率的减小，这会进而增加相邻互连的串扰噪声。因此，电感的影响成为信号完整性分析中日益重要的问题。另一方面，因为考虑L一般需要复杂的计算，所以只有必要时才将L考虑进去。从信号时序的角度看，可以通过估计下面这些时间常数加以判定L的重要性：

（1）驱动器输入信号压摆率：t_r(www.xing528.com)

（2）传输线上的飞越时间

（3）RC互连的Elmore时延：

其中，R、L和C分别为单位长度的电阻、电感和电容。考虑到品质因数，如果互连满足下面两个条件^[5，6]，互连应该被建模为RLC互连：

（1）t_f>t_e。在这个条件下，电感的影响导致较大的信号时延。RLC模型表示的是传输线，比较RLC和RC模型的时间常数，相当于评估传输线的阻抗与互连的总电阻R·length。当Z比总电阻大得多时，RLC的影响对估计互连性能将非常关键。

图8-5 电感显著区域实例

（2）t_r<2t_f。因为2t_f是信号从驱动器到互连末端穿越整个来回行程所需的时间，这个条件意味着如果开关足够快，信号传输会受到反射波的影响，表现出传输线特性。结合互连长度和RLC单元之间的关系，可以将这两个条件转化总结为

如果左边的条件大于右边的条件，即

在这种情况下，不管互连有多长，电感效应都可以忽略。图8-5表示了在什么范围内RLC对一条全局信号互连非常关键的一个实例。电感的效应对中间层互连（如典型的130nm工艺，时钟频率为1.2GHz，互连长度约为2～10mm）更加明显。在先进工艺中大多数互连都在这个长度范围内，所以需要表示为RLC互连。局部金属互连和中等范围的金属互连可以建模为RC电路，因为它们主要表现为电阻性。图8-5表明随着频率的升高，越来越短的互连都将呈现出电感效应。需要说明的是，上面的讨论是基于单根互连。实际上，在同一层会有很多相邻的互连，因此式（8.2.4a）和式（8.2.5）中的电感应该包括电流返回回路的总电感。传输线行为除了受互连布图的影响之外，还与互连两个末端的边界条件有关，通过调节驱动器电阻和负载电容可以改变边界条件。

当信号频率持续升高到10GHz以上并且互连长度持续增加到超过信号波长时，准静态的假设就不再有效。位移电流的出现，使得各单元之间的相互作用不再是瞬时的，从而信号退化成为正确分析的关键。因此，互连参数的提取需要与电气分析结合起来才能求解出时域和频域的响应。虽然这不是当前和近期设计必须考虑的问题，但是如参考文献[7]中所述，互连分析最终将必须采用全波方式。